Mostre que a transformação linear , definida por é um automorfismo e determine .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos mostrar que essa transformação é um automorfismo, ou seja, que ela é uma bijeção (ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora) e, em seguida, encontrar a transformação inversa . Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, matrizes associadas e como encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um automorfismo. Em termos simples, uma transformação linear é um automorfismo se ela tiver uma inversa que também seja linear. Isso acontece se e somente se a matriz que representa for invertível. Então, vamos começar encontrando a matriz associada a .
Passo 3
Para encontrar a matriz de , vamos ver como age nos vetores da base canônica de , que são , e .
Calculando:
Assim, a matriz de é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a matriz é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Calculando o determinante:
Como , a matriz é invertível. Portanto, é um automorfismo.
Passo 5
Agora que sabemos que é um automorfismo, vamos encontrar sua matriz inversa . Existem várias maneiras de calcular a inversa de uma matriz 3x3, mas uma forma mais rápida é usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta. Porém, para simplificar, vamos usar uma técnica de escalonamento.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade:
Agora, vamos realizar operações elementares para transformar o lado esquerdo em :
Subtrair a primeira linha da segunda:
Trocar a segunda e a terceira linha:
Multiplicar a terceira linha por :
Subtrair a terceira linha da primeira:
Agora, o lado esquerdo é a matriz identidade , e o lado direito é :
Passo 6
Finalmente, para encontrar a transformação inversa , vamos multiplicar o vetor pela matriz inversa :