Mostre que a transformação linear T: R^3 R^3, definida por T(x, y, z)=(x+z, x-z, y) é um automorfismo e determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos mostrar que essa transformação é um automorfismo, ou seja, que ela é uma bijeção (ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora) e, em seguida, encontrar a transformação inversa . Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, matrizes associadas e como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um automorfismo. Em termos simples, uma transformação linear é um automorfismo se ela tiver uma inversa que também seja linear. Isso acontece se e somente se a matriz que representa for invertível. Então, vamos começar encontrando a matriz associada a .

Passo 3

Para encontrar a matriz de A = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , vamos ver como age nos vetores da base canônica de , que são , e .
Calculando:
Assim, a matriz de é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (0 + 1) - 0 cdot 0 + 1 cdot (1 - 0) = 1 cdot 1 + 0 + 1 cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2 . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Calculando o determinante:
Como , a matriz é invertível. Portanto, é um automorfismo.

Passo 5

Agora que sabemos que 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 é um automorfismo, vamos encontrar sua matriz inversa 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & | & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 . Existem várias maneiras de calcular a inversa de uma matriz 3x3, mas uma forma mais rápida é usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta. Porém, para simplificar, vamos usar uma técnica de escalonamento.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -2 & | & -1 & 1 & 0 , onde 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & | & 12 & -12 & 0 é a matriz identidade:
1 & 0 & 0 & | & 12 & 12 & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & | & 12 & -12 & 0
Agora, vamos realizar operações elementares para transformar o lado esquerdo em A^-1 = 12 & 12 & 0 0 & 0 & 1 12 & -12 & 0 :
  1. Subtrair a primeira linha da segunda:
  1. Trocar a segunda e a terceira linha:
  1. Multiplicar a terceira linha por :
  1. Subtrair a terceira linha da primeira:
Agora, o lado esquerdo é a matriz identidade , e o lado direito é :

Passo 6

Finalmente, para encontrar a transformação inversa T^-1(x, y, z) = A^-1 cdot x y z = 12x + 12y + 0z 0x + 0y + 1z 12x - 12y + 0z = ( x + y2, z, x - y2 ) , vamos multiplicar o vetor pela matriz inversa :

Resposta

A transformação inversa é .

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