Mostre que a transformação linear , definida por é um automorfismo e determine .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos mostrar que essa transformação é um automorfismo, ou seja, que ela é uma bijeção (ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora) e, em seguida, encontrar a transformação inversa . Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, matrizes associadas e como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um automorfismo. Em termos simples, uma transformação linear é um automorfismo se ela tiver uma inversa que também seja linear. Isso acontece se e somente se a matriz que representa for invertível. Então, vamos começar encontrando a matriz associada a .

Passo 3

Para encontrar a matriz de , vamos ver como age nos vetores da base canônica de , que são , e .
Calculando:
Assim, a matriz de é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a matriz é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Calculando o determinante:
Como , a matriz é invertível. Portanto, é um automorfismo.

Passo 5

Agora que sabemos que é um automorfismo, vamos encontrar sua matriz inversa . Existem várias maneiras de calcular a inversa de uma matriz 3x3, mas uma forma mais rápida é usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta. Porém, para simplificar, vamos usar uma técnica de escalonamento.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade:
Agora, vamos realizar operações elementares para transformar o lado esquerdo em :
  1. Subtrair a primeira linha da segunda:
  1. Trocar a segunda e a terceira linha:
  1. Multiplicar a terceira linha por :
  1. Subtrair a terceira linha da primeira:
Agora, o lado esquerdo é a matriz identidade , e o lado direito é :

Passo 6

Finalmente, para encontrar a transformação inversa , vamos multiplicar o vetor pela matriz inversa :

Resposta

A transformação inversa é .

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Sejam . Calcule a distância do ponto ao plano .
(a) (b) .
Sejam e e duas transformações lineares dadas por e . Sendo o operador idêntico (ou identidade) do , isto é, . Verifique se é um automorfismo do . Se for, determine o automorfismo inverso.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(d) e , sendo dados.
Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .