Mostre que uma transformação linear
é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de
num conjunto de geradores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma transformação linear
é sobrejetiva se e somente se ela transforma um conjunto de geradores de
em um conjunto de geradores de
.
Isso significa que vamos trabalhar com transformações lineares e conjuntos geradores. Precisamos mostrar duas coisas:
- Se
é sobrejetiva, então ela transforma um gerador de em um gerador de . - Se
transforma um gerador de em um gerador de , então é sobrejetiva.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear ser sobrejetiva. Uma transformação
é sobrejetiva se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Em outras palavras,
“cobre” todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto
em
é um conjunto gerador se toda elemento de
pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de
. Ou seja,
“gera” todo o espaço
.
Passo 4
Primeiro, vamos provar a primeira parte: Se
é sobrejetiva, então ela transforma um conjunto gerador de
em um conjunto gerador de
.
Suponha que
seja sobrejetiva e que
seja um conjunto gerador de
. Queremos mostrar que
gera
.
Como
é sobrejetiva, para qualquer
, existe
tal que
. Como
gera
, podemos escrever
como uma combinação linear dos
:
Aplicando
em ambos os lados:
Isso mostra que qualquer
pode ser escrito como uma combinação linear dos
, ou seja,
gera
.
Passo 5
Agora, vamos provar a segunda parte: Se
transforma um conjunto gerador de
em um conjunto gerador de
, então
é sobrejetiva.
Suponha que
gera
e que
gera
. Queremos mostrar que
é sobrejetiva.
Como
gera
, para qualquer
, existe uma combinação linear dos
que resulta em
:
Aqui,
pertence a
porque
gera
. Portanto, para cada
, existe um
tal que
, o que mostra que
é sobrejetiva.
Resposta
Assim, demonstramos que uma transformação linear
é sobrejetiva se e somente se ela transforma um conjunto de geradores de
em um conjunto de geradores de
.
Exercícios relacionados
Sejam as transformações lineares
definida pela matriz
e
definida pela matriz
, onde
é a base canônica de
e
é a base canônica de
. Determine:
A expressão analítica de .
A expressão analítica de
Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Seja
um conjunto de geradores do espaço vetorial
. Se as transformações lineares
são tais que
, prove que
.
Sejam
espaços vetoriais de dimensão finita. Se
, prove que existem transformações lineares
e
tais que
é injetiva e
é sobrejetiva.