Mostre que uma transformação linear é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de num conjunto de geradores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma transformação linear é sobrejetiva se e somente se ela transforma um conjunto de geradores de em um conjunto de geradores de .
Isso significa que vamos trabalhar com transformações lineares e conjuntos geradores. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se é sobrejetiva, então ela transforma um gerador de em um gerador de .
  2. Se transforma um gerador de em um gerador de , então é sobrejetiva.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear ser sobrejetiva. Uma transformação é sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Em outras palavras, “cobre” todo o espaço .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto em é um conjunto gerador se toda elemento de pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Ou seja, “gera” todo o espaço .

Passo 4

Primeiro, vamos provar a primeira parte: Se é sobrejetiva, então ela transforma um conjunto gerador de em um conjunto gerador de .
Suponha que seja sobrejetiva e que seja um conjunto gerador de . Queremos mostrar que gera .
Como é sobrejetiva, para qualquer , existe tal que . Como gera , podemos escrever como uma combinação linear dos :
Aplicando em ambos os lados:
Isso mostra que qualquer pode ser escrito como uma combinação linear dos , ou seja, gera .

Passo 5

Agora, vamos provar a segunda parte: Se transforma um conjunto gerador de em um conjunto gerador de , então é sobrejetiva.
Suponha que gera e que gera . Queremos mostrar que é sobrejetiva.
Como gera , para qualquer , existe uma combinação linear dos que resulta em :
Aqui, pertence a porque gera . Portanto, para cada , existe um tal que , o que mostra que é sobrejetiva.

Resposta

Assim, demonstramos que uma transformação linear é sobrejetiva se e somente se ela transforma um conjunto de geradores de em um conjunto de geradores de .

Exercícios relacionados

Sejam as transformações lineares definida pela matriz e definida pela matriz , onde é a base canônica de e é a base canônica de . Determine:
A expressão analítica de .
Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .
Seja um conjunto de geradores do espaço vetorial . Se as transformações lineares são tais que , prove que .
Sejam espaços vetoriais de dimensão finita. Se , prove que existem transformações lineares e tais que é injetiva e é sobrejetiva.