Verifique se (A, *, triang<=) é anel, quando: A=Z, a * b=a b e a triang<= b=a+b;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto (os números inteiros) com duas operações definidas:
  • (multiplicação comum)
  • (adição comum)
Queremos verificar se forma um anel. Para isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que definem um anel na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
  1. deve ser um grupo abeliano (isto é, deve ser comutativo, ter um elemento neutro e cada elemento deve ter um inverso).
  2. deve ser um monoide (ter um elemento neutro e a operação deve ser associativa).
  3. A multiplicação deve ser distributiva em relação à adição.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

1. Verificando se é um grupo abeliano:
  • Fechamento: A soma de dois inteiros é um inteiro. Ou seja, se , então .
  • Associatividade: A adição de inteiros é associativa: .
  • Elemento neutro: O número 0 atua como elemento neutro, pois para todo .
  • Inversos: Para cada , existe o inverso tal que .
  • Comutatividade: A adição de inteiros é comutativa: .
Como todas essas propriedades são verdadeiras, é um grupo abeliano.

Passo 4

2. Verificando se é um monoide:
  • Fechamento: O produto de dois inteiros é um inteiro. Ou seja, se , então .
  • Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa: .
  • Elemento neutro: O número 1 atua como elemento neutro, pois para todo .
Portanto, é um monoide.

Passo 5

3. Verificando a distributividade:
Precisamos verificar se a multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja:
  • Distributiva à esquerda:
  • Distributiva à direita:
Para inteiros, ambas as propriedades são verdadeiras:

Passo 6

Como todas as condições para ser um anel são atendidas:
  1. é um grupo abeliano.
  2. é um monoide.
  3. A multiplicação é distributiva em relação à adição.

Resposta

Sim, é um anel.

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