Verifique se
é anel, quando:
e
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
(os números inteiros) com duas operações definidas:
-
(multiplicação comum) -
(adição comum)
Queremos verificar se
forma um anel. Para isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que definem um anel na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação. Para
ser um anel, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
-
deve ser um grupo abeliano (isto é, deve ser comutativo, ter um elemento neutro e cada elemento deve ter um inverso). -
deve ser um monoide (ter um elemento neutro e a operação deve ser associativa). - A multiplicação deve ser distributiva em relação à adição.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 3
1. Verificando se
é um grupo abeliano:
- Fechamento: A soma de dois inteiros é um inteiro. Ou seja, se
, então . - Associatividade: A adição de inteiros é associativa:
. - Elemento neutro: O número 0 atua como elemento neutro, pois
para todo . - Inversos: Para cada
, existe o inverso tal que . - Comutatividade: A adição de inteiros é comutativa:
.
Como todas essas propriedades são verdadeiras,
é um grupo abeliano.
Passo 4
2. Verificando se
é um monoide:
- Fechamento: O produto de dois inteiros é um inteiro. Ou seja, se
, então . - Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa:
. - Elemento neutro: O número 1 atua como elemento neutro, pois
para todo .
Portanto,
é um monoide.
Passo 5
3. Verificando a distributividade:
Precisamos verificar se a multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja:
- Distributiva à esquerda:
- Distributiva à direita:
Para inteiros, ambas as propriedades são verdadeiras:
Passo 6
Como todas as condições para ser um anel são atendidas:
-
é um grupo abeliano. -
é um monoide. - A multiplicação é distributiva em relação à adição.
Resposta
Sim,
é um anel.