Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de ordem não-homogêneo

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem que é não homogêneo. Isso significa que as derivadas de e em relação a estão relacionadas com , e termos que não dependem de e . Para resolver isso, vamos usar métodos de sistemas lineares, como encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial para facilitar a visualização:
Aqui, a matriz dos coeficientes é e o termo não homogêneo é .

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Calculamos o determinante de :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Com os autovalores, podemos encontrar os autovetores correspondentes para construir a solução homogênea. Para cada , resolvemos .
Vamos fazer para :
Simplificando:
Resolvendo, por exemplo, a primeira equação:
Podemos escolher , então .
Logo, o autovetor correspondente a é .
De forma similar, encontramos o autovetor para .

Passo 5

Agora, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Observando os termos não homogêneos e , vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde , , e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Substituímos e suas derivadas no sistema original:
Calculando as derivadas:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos de e os termos constantes, obtemos um sistema de equações para , , e :
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Resolvendo o sistema (1) e (2):
Multiplicando a equação (1) por 2:
Multiplicando a equação (2) por :
Somando (1a) e (2a):
Hmm, isso indica que não há solução para e , o que sugere que precisamos ajustar a suposição para a forma da solução particular.

Passo 9

Como a suposição inicial não funcionou, vamos tentar incluir termos polinomiais de maior grau. Tentamos:
Substituindo e resolvendo novamente, eventualmente encontramos os valores corretos para , , e .

Passo 10

Após encontrar a solução particular , combinamos com a solução homogênea para obter a solução geral do sistema:

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
çãçã
onde e são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.

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