Mostre que W=A in Mn(R) ; A T=T A, onde T é uma matriz dada de Mn(R) é um subespaço vetorial de Mn(R).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto , onde é uma matriz qualquer de , é um subespaço vetorial de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e propriedades de matrizes que comutam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é subespaço de se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero, denotada por , satisfaz . Portanto, .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Suponha que A T = T A e B T = T B são matrizes em (A + B) T = T (A + B) . Isso significa que:
(A + B) T = A T + B T = T A + T B = T (A + B)
Queremos mostrar que também está em , ou seja:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto, .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se A T = T A e cA T = cT A é um escalar real, queremos mostrar que (cA) T = T (cA) . Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, .

Passo 6

Como verificamos que:
  1. A matriz zero está em ,
  2. é fechado sob adição,
  3. é fechado sob multiplicação por qualquer escalar real,
Podemos concluir que é realmente um subespaço vetorial de .

Resposta

Portanto, é um subespaço vetorial de .

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