Mostre que
, onde
é uma matriz dada de
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto
, onde
é uma matriz qualquer de
, é um subespaço vetorial de
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e propriedades de matrizes que comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é subespaço de
se satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero está em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero, denotada por
, satisfaz
. Portanto,
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Suponha que
e
são matrizes em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
, ou seja:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto,
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se
e
é um escalar real, queremos mostrar que
. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
.
Passo 6
Como verificamos que:
- A matriz zero está em
, -
é fechado sob adição, -
é fechado sob multiplicação por qualquer escalar real,
Podemos concluir que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Resposta
Portanto,
é um subespaço vetorial de
.