Mostre que os vetores
e
são linearmente dependentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
,
e
. O exercício pede para mostrar que esses vetores são linearmente dependentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como verificar isso usando os vetores que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor linearmente dependente. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma forma de multiplicar os vetores por certos escalares (números) e somá-los para chegar ao vetor zero, sem que todos os escalares sejam zero.
Passo 3
Vamos verificar se existe uma relação de dependência entre
,
e
. Observando os vetores:
Parece que cada componente de
é exatamente o dobro das de
. Vamos conferir:
Isso confirma que
é duas vezes
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
. Notamos que cada componente de
é quatro vezes as de
. Vamos verificar:
Isso mostra que
é quatro vezes
.
Passo 5
Como
e
podem ser expressos como múltiplos de
, isso significa que todos os três vetores estão na mesma direção e são não independentes. Ou seja, existe uma combinação linear não trivial (com escalas diferentes de zero) que resulta no vetor zero.
Resposta
Portanto, os vetores
,
e
são linearmente dependentes porque
e
podem ser escritos como múltiplos de
.