Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos mostrar uma identidade do cálculo vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores
e
com os produtos escalares de
e
com os rotacionais desses vetores. Para isso, vamos usar o cálculo indicial, que é uma maneira de trabalhar com componentes individuais de vetores usando índices.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como expressamos o produto vetorial
usando índices. Utilizamos o símbolo de Levi-Civita
, que é 1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repetir. Assim, o k-ésimo componente do produto vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente desse produto vetorial. O divergente é a derivada do componente correspondente em relação à coordenada espacial. Portanto:
Passo 4
Aplicando a derivada, temos:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 5
Vamos reescrever as expressões usando os rotacionais (
e
). O rotacional de
é:
Multiplicando por
e somando sobre m, obtemos:
Usando a propriedade da dupla soma com Levi-Civita, isso se relaciona com um dos termos obtidos no passo anterior.
Passo 6
Fazendo analogamente para o rotacional de
, temos:
Isso corresponde ao segundo termo da expressão derivada no Passo 4.
Passo 7
Reunindo tudo, podemos escrever:
Que é exatamente a identidade que queríamos provar.
Resposta
Assim, mostramos que: