Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
nabla cdot(u times v)=v cdot(nabla times u)-u cdot(nabla times v)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos mostrar uma identidade do cálculo vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores e com os produtos escalares de e com os rotacionais desses vetores. Para isso, vamos usar o cálculo indicial, que é uma maneira de trabalhar com componentes individuais de vetores usando índices.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como expressamos o produto vetorial (u times v)k = varepsilonijk ui vj usando índices. Utilizamos o símbolo de Levi-Civita , que é 1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repetir. Assim, o k-ésimo componente do produto vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente desse produto vetorial. O divergente é a derivada do componente correspondente em relação à coordenada espacial. Portanto:
nabla cdot (u times v) = partialk (u times v)k = partialk (varepsilonijk ui vj)

Passo 4

Aplicando a derivada, temos:
partialk (varepsilonijk ui vj) = varepsilonijk (partialk ui) vj + varepsilonijk ui (partialk vj)
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 5

Vamos reescrever as expressões usando os rotacionais ( (nabla times u)m = varepsilonmkn partialk un e vm (nabla times u)m = vm varepsilonmkn partialk un ). O rotacional de é:
Multiplicando por e somando sobre m, obtemos:
Usando a propriedade da dupla soma com Levi-Civita, isso se relaciona com um dos termos obtidos no passo anterior.

Passo 6

Fazendo analogamente para o rotacional de um (nabla times v)m = um varepsilonmkn partialk vn , temos:
Isso corresponde ao segundo termo da expressão derivada no Passo 4.

Passo 7

Reunindo tudo, podemos escrever:
nabla cdot (u times v) = vm (nabla times u)m - um (nabla times v)m
Que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Resposta

Assim, mostramos que:
nabla cdot(u times v) = v cdot(nabla times u) - u cdot(nabla times v)

Exercícios relacionados