Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos mostrar uma identidade do cálculo vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores e com os produtos escalares de e com os rotacionais desses vetores. Para isso, vamos usar o cálculo indicial, que é uma maneira de trabalhar com componentes individuais de vetores usando índices.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como expressamos o produto vetorial usando índices. Utilizamos o símbolo de Levi-Civita , que é 1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repetir. Assim, o k-ésimo componente do produto vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente desse produto vetorial. O divergente é a derivada do componente correspondente em relação à coordenada espacial. Portanto:

Passo 4

Aplicando a derivada, temos:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 5

Vamos reescrever as expressões usando os rotacionais ( e ). O rotacional de é:
Multiplicando por e somando sobre m, obtemos:
Usando a propriedade da dupla soma com Levi-Civita, isso se relaciona com um dos termos obtidos no passo anterior.

Passo 6

Fazendo analogamente para o rotacional de , temos:
Isso corresponde ao segundo termo da expressão derivada no Passo 4.

Passo 7

Reunindo tudo, podemos escrever:
Que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado , separadas por uma distância .
© Considere agora que um dielétrico de permitividade (constante dielétrica) К é colocada entre as placas, preenchendo totalmente o espaço entre elas. O campo elétrico máximo que este dielétrico suporta tem módulo . Calcule a energia elétrica máxima que pode ser armazenada neste capacitor, com o dielétrico entre as placas.
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial: