Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando cálculo indicial, a identidade vetorial:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo indicial, que nos ajuda a trabalhar com componentes das expressões vetoriais. Precisaremos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial e como aplicar as propriedades dos produtos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o rotacional de
usando o cálculo indicial. Lembre-se que o rotacional de um campo vetorial
é dado por:
onde
é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 3
Aplicando isso ao campo
, temos:
Agora, usamos a regra do produto para derivadas:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão do rotacional:
Podemos separar os termos:
Passo 5
Observando cada termo separadamente:
- O primeiro termo é:
- O segundo termo é:
Passo 6
Juntando os dois termos, temos:
Como isso vale para cada componente
, podemos escrever em forma vetorial:
Resposta
Assim, mostramos que:
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Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Um pistão executa movimento harmônico simples com uma amplitude de
. Se ele passa pelo centro do seu movimento com uma velocidade de
, qual é o periodo T da oscilação. (Valor: 1,0 ponto)
Perricu. or enengio
(a) Determine a força
atuando sobre a partícula.