Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando cálculo indicial, a identidade vetorial:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo indicial, que nos ajuda a trabalhar com componentes das expressões vetoriais. Precisaremos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial e como aplicar as propriedades dos produtos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o rotacional de usando o cálculo indicial. Lembre-se que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
onde é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Aplicando isso ao campo , temos:
Agora, usamos a regra do produto para derivadas:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do rotacional:
Podemos separar os termos:

Passo 5

Observando cada termo separadamente:
  1. O primeiro termo é:
  1. O segundo termo é:

Passo 6

Juntando os dois termos, temos:
Como isso vale para cada componente , podemos escrever em forma vetorial:

Resposta

Assim, mostramos que:

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Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
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Um pistão executa movimento harmônico simples com uma amplitude de . Se ele passa pelo centro do seu movimento com uma velocidade de , qual é o periodo T da oscilação. (Valor: 1,0 ponto)
Perricu. or enengio
(a) Determine a força atuando sobre a partícula.