Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
nabla times(f u)=nabla f times u+f nabla times u

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando cálculo indicial, a identidade vetorial:
nabla times(f u)=nabla f times u+f nabla times u
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo indicial, que nos ajuda a trabalhar com componentes das expressões vetoriais. Precisaremos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial e como aplicar as propriedades dos produtos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o rotacional de (nabla times A)i = epsilonijk partial Akpartial xj usando o cálculo indicial. Lembre-se que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
onde é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Aplicando isso ao campo (nabla times (f u))i = epsilonijk partial (f uk)partial xj , temos:
partial (f uk)partial xj = partial fpartial xj uk + f partial ukpartial xj
Agora, usamos a regra do produto para derivadas:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do rotacional:
(nabla times (f u))i = epsilonijk ( partial fpartial xj uk + f partial ukpartial xj )
Podemos separar os termos:
= epsilonijk partial fpartial xj uk + epsilonijk f partial ukpartial xj

Passo 5

Observando cada termo separadamente:
  1. O primeiro termo é:
epsilonijk partial fpartial xj uk = (nabla f times u)i
  1. O segundo termo é:
epsilonijk f partial ukpartial xj = f (nabla times u)i

Passo 6

Juntando os dois termos, temos:
(nabla times (f u))i = (nabla f times u)i + f (nabla times u)i
Como isso vale para cada componente nabla times(f u) = nabla f times u + f nabla times u , podemos escrever em forma vetorial:

Resposta

Assim, mostramos que:
nabla times(f u) = nabla f times u + f nabla times u

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