Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
nabla cdot(f u)=nabla f cdot u+f nabla cdot u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar uma identidade do cálculo vetorial usando cálculo indicial. Especificamente, queremos provar que:
nabla cdot(f u) = nabla f cdot u + f nabla cdot u
Aqui, nabla cdot representa a divergente, f é uma função escalar e u é um vetor. Para resolver isso, vamos usar a notação indicial, que é uma maneira de escrever operações vetoriais usando índices para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar a divergente de um vetor usando notação indicial. A divergente de v é dada por:
nabla cdot v = partial vipartial xi
Aqui, usamos a soma sobre o índice repetido i, que vai de 1 a 3 (nas três dimensões espaciais).

Passo 3

Agora, aplicamos isso ao vetor f u. Ou seja:
nabla cdot (f u) = partial (f ui)partial xi
Aqui, ui são os componentes do vetor u.

Passo 4

Vamos expandir a derivada do produto usando a regra do produto (ou regra de Leibniz):
partial (f ui)partial xi = partial fpartial xi ui + f partial uipartial xi
Isso separa a derivada do produto em duas partes: a derivada de f multiplicada por ui, mais f vezes a derivada de ui.

Passo 5

Agora, vamos reescrever essas expressões em termos de operações vetoriais. A primeira parte, partial fpartial xi ui, é basicamente o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor u:
nabla f cdot u
A segunda parte, f partial uipartial xi, é f vezes a divergente de u:
f nabla cdot u

Resposta

Assim, juntando tudo, temos que:
nabla cdot(f u) = nabla f cdot u + f nabla cdot u

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