Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar uma identidade do cálculo vetorial usando cálculo indicial. Especificamente, queremos provar que:
Aqui, representa a divergente, é uma função escalar e é um vetor. Para resolver isso, vamos usar a notação indicial, que é uma maneira de escrever operações vetoriais usando índices para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar a divergente de um vetor usando notação indicial. A divergente de é dada por:
Aqui, usamos a soma sobre o índice repetido , que vai de 1 a 3 (nas três dimensões espaciais).

Passo 3

Agora, aplicamos isso ao vetor . Ou seja:
Aqui, são os componentes do vetor .

Passo 4

Vamos expandir a derivada do produto usando a regra do produto (ou regra de Leibniz):
Isso separa a derivada do produto em duas partes: a derivada de multiplicada por , mais vezes a derivada de .

Passo 5

Agora, vamos reescrever essas expressões em termos de operações vetoriais. A primeira parte, , é basicamente o produto escalar entre o gradiente de e o vetor :
A segunda parte, , é vezes a divergente de :

Resposta

Assim, juntando tudo, temos que:

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Um pistão executa movimento harmônico simples com uma amplitude de . Se ele passa pelo centro do seu movimento com uma velocidade de , qual é o periodo T da oscilação. (Valor: 1,0 ponto)
Perricu. or enengio