Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar uma identidade do cálculo vetorial usando cálculo indicial. Especificamente, queremos provar que:
Aqui,
representa a divergente,
é uma função escalar e
é um vetor. Para resolver isso, vamos usar a notação indicial, que é uma maneira de escrever operações vetoriais usando índices para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expressar a divergente de um vetor usando notação indicial. A divergente de
é dada por:
Aqui, usamos a soma sobre o índice repetido
, que vai de 1 a 3 (nas três dimensões espaciais).
Passo 3
Agora, aplicamos isso ao vetor
. Ou seja:
Aqui,
são os componentes do vetor
.
Passo 4
Vamos expandir a derivada do produto usando a regra do produto (ou regra de Leibniz):
Isso separa a derivada do produto em duas partes: a derivada de
multiplicada por
, mais
vezes a derivada de
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever essas expressões em termos de operações vetoriais. A primeira parte,
, é basicamente o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
:
A segunda parte,
, é
vezes a divergente de
:
Resposta
Assim, juntando tudo, temos que:
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Um pistão executa movimento harmônico simples com uma amplitude de
. Se ele passa pelo centro do seu movimento com uma velocidade de
, qual é o periodo T da oscilação. (Valor: 1,0 ponto)
Perricu. or enengio