Resolva a equação e : ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial de segunda ordem . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela tem a forma geral , onde é a segunda derivada de em relação ao tempo . No nosso caso, a equação é , o que significa que e .

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente monta a equação característica, que é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. A equação característica para nossa equação é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :

Passo 5

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas como as nossas, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
onde e são constantes que podem ser determinandas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Derive.
Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por . Determine a posição de , da partícula no instante e discuta o movimento, supondo que: e .
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências , cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes: .
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d) , então .