Resolva a equação
e
:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela tem a forma geral
, onde
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
. No nosso caso, a equação é
, o que significa que
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente monta a equação característica, que é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. A equação característica para nossa equação é:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas como as nossas, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
onde
e
são constantes que podem ser determinandas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Exercícios relacionados
Derive.
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d)
, então
.