Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências , cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a sequência é convergente usando só a definição de convergência. Isso envolve entender o que significa uma sequência ter um limite e aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é convergência. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, para todo número positivo (por menor que seja), existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que . Em fórmula:
Passo 3
Para a sequência , suspeitamos que o limite é 0, já que, conforme aumenta, fica cada vez menor. Vamos provar isso usando a definição que acabamos de revisar.
Passo 4
Vamos considerar . Precisamos mostrar que, para todo , existe um tal que, se , então:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade . Primeiro, invertendo os dois lados (como ambos são positivos, a desigualdade se mantém):
Agora, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 6
Então, podemos escolher como sendo qualquer número natural maior que . Por exemplo:
Isso garante que, para todo , teremos , satisfazendo a definição de convergência.
Resposta
Portanto, mostramos que a sequência converge para 0, usando somente a definição de convergência.