Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que relaciona as variáveis
e
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação dada:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
. Podemos mover o termo envolvendo
para o outro lado da igualdade:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função primitiva que, ao ser derivada, nos dê os termos originais.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
Integrando o lado direito em relação a
:
Passo 5
Como as integrais dos dois lados são iguais, podemos igualar as expressões resultantes:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Utilizando propriedades dos logaritmos, especificamente a diferença de logaritmos, podemos simplificar a expressão:
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la para
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
em função de
:
Como
é uma constante qualquer, podemos simplesmente escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (b) Se
, então
.
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas: