Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que relaciona as variáveis e . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação dada:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis e . Podemos mover o termo envolvendo para o outro lado da igualdade:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função primitiva que, ao ser derivada, nos dê os termos originais.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
Integrando o lado direito em relação a :

Passo 5

Como as integrais dos dois lados são iguais, podemos igualar as expressões resultantes:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Utilizando propriedades dos logaritmos, especificamente a diferença de logaritmos, podemos simplificar a expressão:

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la para :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para em função de :
Como é uma constante qualquer, podemos simplesmente escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (b) Se , então .
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências , cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes: .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas: