Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula de massa
que se move ao longo do eixo
sob a ação de duas forças: uma força elástica proporcional à posição,
, e uma força de amortecimento proporcional à velocidade,
. Precisamos determinar a posição
da partícula no instante
e discutir o movimento, sabendo que inicialmente
e
. Para resolver, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante à massa e à aceleração:
Aqui,
é a aceleração da partícula.
Passo 3
As forças atuando na partícula são a força elástica e a força de amortecimento. Então, a força resultante é:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Como
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para resolver, encontramos a equação característica associada que tem a forma:
Passo 5
Resolvemos a equação característica:
Passo 6
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais:
- Quando
, :
- Derivamos
para encontrar :
Aplicamos
e
:
Passo 8
Substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
Esse resultado indica que a partícula retorna à posição de equilíbrio
sem oscilações, pois o movimento é subamortecido. A posição diminui exponencialmente com o tempo devido ao efeito do amortecimento, fazendo com que a partícula se estabilize em
.
Exercícios relacionados
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Resolva:
,
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (b) Se
, então
.