Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica -x i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por -2 x i. Determine a posição de x = x(t), t ≥ 0, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo que: x(0) = 1 e dot(x)(0) = 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula de massa que se move ao longo do eixo sob a ação de duas forças: uma força elástica proporcional à posição, , e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, . Precisamos determinar a posição da partícula no instante e discutir o movimento, sabendo que inicialmente e . Para resolver, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante à massa e à aceleração:
Aqui, é a aceleração da partícula.

Passo 3

As forças atuando na partícula são a força elástica e a força de amortecimento. Então, a força resultante é:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Como :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para resolver, encontramos a equação característica associada que tem a forma:

Passo 5

Resolvemos a equação característica:

Passo 6

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais:
  1. Quando , :
  1. Derivamos para encontrar :
Aplicamos e :

Passo 8

Substituímos e na solução geral:

Resposta

A posição da partícula no instante é dada por:
Esse resultado indica que a partícula retorna à posição de equilíbrio sem oscilações, pois o movimento é subamortecido. A posição diminui exponencialmente com o tempo devido ao efeito do amortecimento, fazendo com que a partícula se estabilize em .

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