Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (b) Se
, então
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que está sendo pedido. A questão quer saber se a afirmação "Se
, então
" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das sequências.
Passo 2
Primeiro, entendamos que
significa que os termos da sequência
estão se aproximando cada vez mais de zero conforme
aumenta.
Passo 3
A expressão
nos diz que o limite do valor absoluto dos termos da sequência também é zero. O valor absoluto,
, sempre é um número não-negativo, representando a distância de
em relação a zero.
Passo 4
Sabemos que se
está se aproximando de zero, então
também deve estar se aproximando de zero. Isso porque o valor absoluto sendo zero implica que o próprio número é zero (já que a única vez que
é quando
).
Passo 5
Portanto, concluímos que se o limite do valor absoluto de
é zero, então o limite da própria sequência
também deve ser zero.
Resposta
Verdadeira. Se
, então
.
Exercícios relacionados
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.