Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial:
Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser separadas em variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Podemos mover o termo que envolve
para o outro lado da equação:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
. Na verdade, já conseguimos separar as variáveis
e
, onde tudo que envolve
está de um lado e tudo que envolve
está do outro. Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, usamos a separação de variáveis, uma técnica comum para resolver esse tipo de equação diferencial.
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, integramos a parte da esquerda em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, vamos igualar as duas integrais e simplificar as constantes de integração. Podemos chamar
:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
isolando-o. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Depois, tiramos o inverso de ambos os lados para encontrar
:
Podemos reescrever a constante
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Resolva:
,
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.