Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial:
Esse problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser separadas em variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Podemos mover o termo que envolve para o outro lado da equação:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por . Na verdade, já conseguimos separar as variáveis e , onde tudo que envolve está de um lado e tudo que envolve está do outro. Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, usamos a separação de variáveis, uma técnica comum para resolver esse tipo de equação diferencial.

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, integramos a parte da esquerda em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, vamos igualar as duas integrais e simplificar as constantes de integração. Podemos chamar :

Passo 7

Vamos resolver essa equação para isolando-o. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Depois, tiramos o inverso de ambos os lados para encontrar :
Podemos reescrever a constante como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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