Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
, demonstre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma relação entre as dimensões de dois subespaços vetoriais
e
dentro de um espaço maior
. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente aos conceitos de subespaços, soma de subespaços e interseção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a dimensão de um subespaço e como somar e intersectar subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a dimensão de um subespaço. A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o subespaço.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a soma de dois subespaços
. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
:
Esse conjunto também é um subespaço de
.
Passo 4
Também precisamos entender a interseção de
e
, que é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços:
A dimensão dessa interseção é importante para a fórmula que queremos provar.
Passo 5
Para encontrar a dimensão de
, vamos utilizar o seguinte princípio:
Isso evita contar duas vezes os vetores que estão na interseção de
e
.
Passo 6
Vamos entender por que essa fórmula funciona. Imagine que você tem bases para
e
. Alguns vetores podem estar em ambos os subespaços, ou seja, na interseção
. Se contarmos todos os vetores das bases de
e
, os vetores da interseção serão contados duas vezes. Por isso, subtraímos a dimensão da interseção para ajustar essa contagem.
Passo 7
Formalmente, se
é uma base para
e
é uma base para
, então alguns
podem ser iguais a alguns
se eles estiverem na interseção. Para não contar esses vetores duas vezes na soma
, subtraímos a dimensão de
.
Passo 8
Portanto, juntando tudo isso, concluímos que:
Essa igualdade mostra como as dimensões dos subespaços e sua interseção se relacionam na soma dos subespaços.
Resposta
Demonstramos que
.