Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W, demonstre que
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(U cap V)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma relação entre as dimensões de dois subespaços vetoriais e dentro de um espaço maior . Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente aos conceitos de subespaços, soma de subespaços e interseção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a dimensão de um subespaço e como somar e intersectar subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a dimensão de um subespaço. A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o subespaço.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a soma de dois subespaços U + V = u + v mid u in U, v in V . A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Esse conjunto também é um subespaço de .

Passo 4

Também precisamos entender a interseção de U cap V = w mid w in U e w in V e , que é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços:
A dimensão dessa interseção é importante para a fórmula que queremos provar.

Passo 5

Para encontrar a dimensão de dim(U + V) = dim U + dim V - dim(U cap V) , vamos utilizar o seguinte princípio:
Isso evita contar duas vezes os vetores que estão na interseção de e .

Passo 6

Vamos entender por que essa fórmula funciona. Imagine que você tem bases para e . Alguns vetores podem estar em ambos os subespaços, ou seja, na interseção . Se contarmos todos os vetores das bases de e , os vetores da interseção serão contados duas vezes. Por isso, subtraímos a dimensão da interseção para ajustar essa contagem.

Passo 7

Formalmente, se é uma base para e é uma base para , então alguns podem ser iguais a alguns se eles estiverem na interseção. Para não contar esses vetores duas vezes na soma , subtraímos a dimensão de .

Passo 8

Portanto, juntando tudo isso, concluímos que:
dim(U + V) = dim U + dim V - dim(U cap V)
Essa igualdade mostra como as dimensões dos subespaços e sua interseção se relacionam na soma dos subespaços.

Resposta

Demonstramos que .

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