Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c. 3 y^2-z^2=x
3 y^2-z^2=1 Paraboloide Hiperbólico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a interseção do paraboloide dado com o plano . Além disso, precisamos identificar se o paraboloide é simples ou hiperbólico. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para substituir o valor de na equação do paraboloide e depois analisar a forma que a equação resultante assume.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3y^2 - z^2 = -1 na equação do paraboloide . Isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
3y^2 - z^2 + 1 = 0 ou 3y^2 - z^2 = -1
Essa é uma equação de segundo grau com termos quadráticos em e . A presença de sinais diferentes nos termos quadráticos ( positivo e negativo) indica que estamos lidando com uma superfície hiperbólica.

Passo 4

Para confirmar, vamos comparar com a forma padrão de um paraboloide hiperbólico, que é:
y^2a^2 - z^2b^2 = c
No nosso caso, podemos ver que:
y^213 - z^21 = -1
Isso confirma que a interseção resulta em uma superfície hiperbólica.

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano é a equação , que representa um paraboloide hiperbólico.

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Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b. x^24-z^29=y
z^29=14-y Paraboloide Hiperbólico
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d. 5 y^2+z^2=x
5 y^2+z^2=1 Paraboloide Simples
Mostre que V=(x1 x2, x3) / x1-4 x2-5 x3=0 in R^3 com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre R.
Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
a. 9 x^2+36 y^2+4 z^2-18 x+144 y+117=0
C=(1,-2,0)