Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c.
Paraboloide Hiperbólico
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a interseção do paraboloide dado com o plano
. Além disso, precisamos identificar se o paraboloide é simples ou hiperbólico. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para substituir o valor de
na equação do paraboloide e depois analisar a forma que a equação resultante assume.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação do paraboloide
. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Essa é uma equação de segundo grau com termos quadráticos em
e
. A presença de sinais diferentes nos termos quadráticos (
positivo e
negativo) indica que estamos lidando com uma superfície hiperbólica.
Passo 4
Para confirmar, vamos comparar com a forma padrão de um paraboloide hiperbólico, que é:
No nosso caso, podemos ver que:
Isso confirma que a interseção resulta em uma superfície hiperbólica.
Resposta
A interseção do paraboloide
com o plano
é a equação
, que representa um paraboloide hiperbólico.
Exercícios relacionados
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b.
Paraboloide Hiperbólico
b.
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d.
Paraboloide Simples
d.
Mostre que
com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
a.
a.