Mostre que se v1, ldots, vn são LI e w notin[v1, ldots, vn] então v1, ldots, vn, w são LI.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que temos vetores que são linearmente independentes (LI) e um vetor que não está no conjunto gerado por esses vetores, ou seja, . A gente precisa provar que os vetores também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar os conceitos de independência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .

Passo 3

Vamos assumir que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Nosso objetivo é mostrar que todos os coeficientes a1v1 + a2v2 + ldots + anvn + b w = 0 devem ser zero.

Passo 4

Sabemos que b w = - (a1v1 + a2v2 + ldots + anvn) são LI. Então, se isolarmos , temos:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ), seria uma combinação linear dos vetores , o que contraria a condição . Portanto, nossa suposição de que está errada, ou seja, .

Passo 5

Com a1v1 + a2v2 + ldots + anvn = 0 , a equação inicial se reduz a:
Como são LI, isso implica que todos os .

Resposta

Portanto, a única solução para a combinação linear é . Assim, os vetores são linearmente independentes.

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