Mostre que se
são LI e
então
são LI.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que temos vetores
que são linearmente independentes (LI) e um vetor
que não está no conjunto gerado por esses vetores, ou seja,
. A gente precisa provar que os vetores
também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar os conceitos de independência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente
.
Passo 3
Vamos assumir que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Nosso objetivo é mostrar que todos os coeficientes
devem ser zero.
Passo 4
Sabemos que
são LI. Então, se isolarmos
, temos:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
),
seria uma combinação linear dos vetores
, o que contraria a condição
. Portanto, nossa suposição de que
está errada, ou seja,
.
Passo 5
Com
, a equação inicial se reduz a:
Como
são LI, isso implica que todos os
.
Resposta
Portanto, a única solução para a combinação linear
é
. Assim, os vetores
são linearmente independentes.