Quais dos seguintes conjuntos de vetores sâo bases de R^3 ? Justifique sua resposta (-2,3,4),(0,0,9),(1,0,2);

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores em : , e . A pergunta é saber se esse conjunto de vetores forma uma base de . Para isso, precisamos lembrar o que é uma base e quais condições os vetores devem satisfazer.

Passo 2

Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses três vetores, e nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação dos outros dois.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz formada pelos vetores é:
A = -2 & 0 & 1 3 & 0 & 0 4 & 9 & 2

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -2 cdot det 0 & 0 9 & 2 - 0 cdot det 3 & 0 4 & 2 + 1 cdot det 3 & 0 4 & 9 :
det 0 & 0 9 & 2 = (0)(2) - (0)(9) = 0
Calculando cada determinante menor:
det 3 & 0 4 & 2 = (3)(2) - (0)(4) = 6
det 3 & 0 4 & 9 = (3)(9) - (0)(4) = 27
det(A) = -2 cdot 0 - 0 cdot 6 + 1 cdot 27 = 0 + 0 + 27 = 27
Substituindo de volta:
Como o determinante é 27, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em , eles também geram todo o espaço . Portanto, esse conjunto de vetores satisfaz as condições para ser uma base de .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base de .

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