Quais dos seguintes conjuntos de vetores sâo bases de ? Justifique sua resposta ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores em : , e . A pergunta é saber se esse conjunto de vetores forma uma base de . Para isso, precisamos lembrar o que é uma base e quais condições os vetores devem satisfazer.
Passo 2
Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses três vetores, e nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação dos outros dois.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz formada pelos vetores é:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -2 cdot det 0 & 0 9 & 2 - 0 cdot det 3 & 0 4 & 2 + 1 cdot det 3 & 0 4 & 9 :
Como o determinante é 27, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos três vetores linearmente independentes em , eles também geram todo o espaço . Portanto, esse conjunto de vetores satisfaz as condições para ser uma base de .