Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(z+y, x, x-y-z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma aplicação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar bases para o Núcleo de T ( ) e para a Imagem de T ( ). Para isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, sistemas de equações lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a base do Núcleo de T. O núcleo consiste em todos os vetores T(x, y, z) = (y + z, x, x - y - z) = (0, 0, 0) que são enviados para o vetor zero pela transformação y + z = 0 x = 0 x - y - z = 0 . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, já sabemos que y + z = 0 0 - y - z = 0 . Substituindo esse valor nas outras equações:
0 - y - (-y) = 0 Rightarrow 0 = 0
A primeira equação nos dá . Substituindo na terceira equação:
Essa última equação é sempre verdadeira, o que significa que pode ser qualquer número real, e depende de .

Passo 4

Então, os vetores no núcleo têm a forma:
(x, y, z) = (0, y, -y) = y cdot (0, 1, -1)
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, a base do núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a base da Imagem de T. A imagem consiste em todos os vetores que podem ser obtidos aplicando A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 a algum vetor T(1,0,0) = (0, 1, 1) T(0,1,0) = (1, 0, -1) T(0,0,1) = (1, 0, -1) em . Para isso, podemos representar como uma matriz e identificar os vetores que geram a imagem.
A transformação pode ser representada pela matriz:
As colunas dessa matriz são as imagens dos vetores canônicos , e . Calculando:
Notamos que e são o mesmo vetor, então eles não são linearmente independentes.

Passo 6

Portanto, a imagem de é gerada pelos vetores e . Como esses dois vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem.

Resposta

  • Base de :
  • Base de :

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