Mostre a validade das expressões:
(a) ;
(b) ;
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três expressões que envolvem funções hiperbólicas, como , e . A missão é provar que essas expressões são verdadeiras nos intervalos indicados. Para isso, vamos precisar lembrar das definições dessas funções e das propriedades dos logaritmos naturais. Vamos resolver tudinho passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que , para .

Primeiro, vamos lembrar a definição da função . Sabemos que:
Agora, queremos achar o argumento (ou inversa) dessa função, ou seja, para encontrar em termos de .
Começamos resolvendo a equação :
Isso é uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Como é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para encontrar :
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Mostrar que , para .

Vamos lembrar que a tangente hiperbólica é dada por:
Queremos encontrar em termos de , ou seja, resolver .
Começamos com a equação:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que , para .

Vamos lembrar que a secante hiperbólica é:
Queremos encontrar em termos de , ou seja, resolver .
Começamos com:
Isso é uma equação quadrática em termos de . Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que todas as expressões (a), (b) e © são válidas nos respectivos intervalos.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas de com relação a :
Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a)
(b)
©
(d) .
Calcule as derivadas de com relação a :
Seja .
Calcular e .