Mostre a validade das expressões:
(a) arg(cosh(x)) = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x ≥ 1;
(b) arg tgh(x) = 1/2 ln((1+x)/(1-x)), -1<x<1;
© arg(sech(x)) = ln((1 + raiz(1 - x^2)) / x), 0 < x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três expressões que envolvem funções hiperbólicas, como , e . A missão é provar que essas expressões são verdadeiras nos intervalos indicados. Para isso, vamos precisar lembrar das definições dessas funções e das propriedades dos logaritmos naturais. Vamos resolver tudinho passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que , para x ≥ 1.

Primeiro, vamos lembrar a definição da função . Sabemos que:
Agora, queremos achar o argumento (ou inversa) dessa função, ou seja, para encontrar x em termos de .
Começamos resolvendo a equação :
Isso é uma equação quadrática em termos de e^y. Vamos resolver para e^y usando a fórmula de Bhaskara:
Como e^y é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para encontrar y:
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Mostrar que , para .

Vamos lembrar que a tangente hiperbólica é dada por:
Queremos encontrar em termos de y, ou seja, resolver .
Começamos com a equação:
x
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que , para .

Vamos lembrar que a secante hiperbólica é:
Queremos encontrar em termos de y, ou seja, resolver .
Começamos com:
x
Isso é uma equação quadrática em termos de . Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
e^y
Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que todas as expressões (a), (b) e © são válidas nos respectivos intervalos.

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