Mostre a validade das expressões:
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três expressões que envolvem funções hiperbólicas, como
, e . A missão é provar que essas expressões são verdadeiras nos intervalos indicados. Para isso, vamos precisar lembrar das definições dessas funções e das propriedades dos logaritmos naturais. Vamos resolver tudinho passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
, para
.
Primeiro, vamos lembrar a definição da função
. Sabemos que:
Agora, queremos achar o argumento (ou inversa) dessa função, ou seja, para encontrar
em termos de
.
Começamos resolvendo a equação
:
Isso é uma equação quadrática em termos de
. Vamos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para encontrar
:
Portanto:
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
, para
.
Vamos lembrar que a tangente hiperbólica é dada por:
Queremos encontrar
em termos de
, ou seja, resolver .
Começamos com a equação:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que
, para
.
Vamos lembrar que a secante hiperbólica é:
Queremos encontrar
em termos de
, ou seja, resolver .
Começamos com:
Isso é uma equação quadrática em termos de
. Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Portanto:
Resposta
Assim, demonstramos que todas as expressões (a), (b) e © são válidas nos respectivos intervalos.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas de
com relação a
:
Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Calcule as derivadas de
com relação a
:
Seja
.
Calcular e
.
Calcular