a) Mostre que o valor de:
x y z / (z^2 + y^4 + z^4)
tende a 0 quando (x, y, z) -> (0, 0, 0) ao longo de qualquer reta x = a t, y = b t, z = c t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos mostrar que a expressão:
x y z / (z^2 + y^4 + z^4)
tende a 0 quando os pontos (x, y, z) se aproximam de (0, 0, 0), ou seja, no limite quando . Para isso, vamos considerar movimentos ao longo de qualquer reta definida por , , e , onde t é um parâmetro que tende a 0. O conteúdo que vamos utilizar envolve limites em várias variáveis e a substituição de parâmetros.

Passo 2

Vamos substituir x, y e z pelas expressões dadas pela reta:
Isso significa que à medida que t se aproxima de 0, (x, y, z) se aproxima de (0, 0, 0).

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 4

Vamos fatorar t^2 no denominador:
Cancelando t^2:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando t -> 0:
No numerador, temos , que tende a 0 porque t -> 0.
No denominador, , já que os termos com t^2 tendem a 0.
Então, a expressão fica:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite:

Resposta

Portanto, quando ao longo de qualquer reta , , , o valor de tende a 0.

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