a) Mostre que o valor de:
tende a 0 quando
ao longo de qualquer reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos mostrar que a expressão:
tende a 0 quando os pontos
se aproximam de
, ou seja, no limite quando
. Para isso, vamos considerar movimentos ao longo de qualquer reta definida por
,
, e
, onde
é um parâmetro que tende a 0. O conteúdo que vamos utilizar envolve limites em várias variáveis e a substituição de parâmetros.
Passo 2
Vamos substituir
,
e
pelas expressões dadas pela reta:
Isso significa que à medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 4
Vamos fatorar
no denominador:
Cancelando
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
:
No numerador, temos
, que tende a 0 porque
.
No denominador,
, já que os termos com
tendem a 0.
Então, a expressão fica:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite:
Resposta
Portanto, quando
ao longo de qualquer reta
,
,
, o valor de
tende a 0.
Exercícios relacionados
Fatore as expressões, colocando algum termo em evidência.
.
Fatore as expressões.
.
Use as leis do limite e as propriedades da continuidade para calcular o limite.
.