Use as leis do limite e as propriedades da continuidade para calcular o limite. lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2 y^3).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função ln(1 + x^2 y^3) quando os valores de x e y se aproximam de 0. Para isso, vamos usar as leis dos limites e as propriedades da continuidade das funções. Precisamos analisar como o termo dentro do logaritmo se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo dentro do logaritmo: x^2 y^3. Quando x e y se aproximam de 0, x^2 se torna muito pequeno porque estamos elevando x ao quadrado, e y^3 também se torna muito pequeno por causa do expoente 3. O produto desses dois termos, x^2 y^3, então, se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, consideramos a função logarítmica: ln(1 + z), onde z = x^2 y^3. Sabemos que a função logarítmica é contínua quando o que está dentro dela também é contínuo. Como z se aproxima de 0, 1 + z se aproxima de 1.

Passo 4

Como ln(1) = 0, podemos concluir que quando z se aproxima de 0, ln(1 + z) se aproxima de ln(1), que é 0. Portanto, o limite da nossa função original também será 0.

Resposta

0

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