Mostre que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas se movendo em relação a um referencial inercial (laboratório) é dada por
com
e
a energia total e a velocidade total no referencial do laboratório.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas, quando observadas de um referencial inercial (tipo o laboratório), é dada pela fórmula:
Aqui,
é a energia total e
é o momento total do sistema no referencial do laboratório. Vamos usar conceitos de física relativística para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. Em sistemas de partículas, o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas.
Na física relativística, a definição de centro de massa envolve tanto a energia quanto o momento das partículas. A velocidade do centro de massa
pode ser relacionada ao momento total
e à energia total
.
Passo 3
Vamos começar com a definição relativística do momento total:
E a energia total do sistema é:
Onde
é o momento de cada partícula e
é a energia de cada partícula.
Passo 4
Na relatividade, a relação entre o momento e a energia de uma partícula é dada por:
e
Onde
é o fator de Lorentz,
é a massa da partícula,
é a velocidade e
é a velocidade da luz.
Passo 5
Para o centro de massa, queremos a velocidade que faz com que o sistema pareça ter essa velocidade como um todo. Então, relacionamos a velocidade do centro de massa com o momento e a energia totais.
Dividindo o momento total pela energia total, temos:
Aqui,
é a massa total e
é o fator de Lorentz associado à velocidade do centro de massa.
Passo 6
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Isso mostra a relação desejada para a velocidade do centro de massa em termos do momento e da energia totais.
Resposta
A velocidade do centro de massa do sistema é dada por