Mostre que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas se movendo em relação a um referencial inercial (laboratório) é dada por
vc m=c^2 pt o tEt o t
com Et o t e pt o t a energia total e a velocidade total no referencial do laboratório.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas, quando observadas de um referencial inercial (tipo o laboratório), é dada pela fórmula:
vcm = c^2 ptotEtot
Aqui, é a energia total e é o momento total do sistema no referencial do laboratório. Vamos usar conceitos de física relativística para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. Em sistemas de partículas, o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas.
Na física relativística, a definição de centro de massa envolve tanto a energia quanto o momento das partículas. A velocidade do centro de massa pode ser relacionada ao momento total e à energia total .

Passo 3

Vamos começar com a definição relativística do momento total:
ptot = sumi pi
E a energia total do sistema é:
Etot = sumi Ei
Onde é o momento de cada partícula e é a energia de cada partícula.

Passo 4

Na relatividade, a relação entre o momento e a energia de uma partícula é dada por:
p = gamma m v
e
E = gamma m c^2
Onde é o fator de Lorentz, é a massa da partícula, é a velocidade e é a velocidade da luz.

Passo 5

Para o centro de massa, queremos a velocidade que faz com que o sistema pareça ter essa velocidade como um todo. Então, relacionamos a velocidade do centro de massa com o momento e a energia totais.
Dividindo o momento total pela energia total, temos:
Aqui, ptotEtot = gammacm mtot vcmgammacm mtot c^2 = vcmc^2 é a massa total e é o fator de Lorentz associado à velocidade do centro de massa.

Passo 6

Isolando vcm = c^2 ptotEtot , multiplicamos ambos os lados por :
Isso mostra a relação desejada para a velocidade do centro de massa em termos do momento e da energia totais.

Resposta

A velocidade do centro de massa do sistema é dada por
vcm = c^2 ptotEtot

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