Mostre que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas se movendo em relação a um referencial inercial (laboratório) é dada por
com e a energia total e a velocidade total no referencial do laboratório.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas, quando observadas de um referencial inercial (tipo o laboratório), é dada pela fórmula:
Aqui, é a energia total e é o momento total do sistema no referencial do laboratório. Vamos usar conceitos de física relativística para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. Em sistemas de partículas, o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas.
Na física relativística, a definição de centro de massa envolve tanto a energia quanto o momento das partículas. A velocidade do centro de massa pode ser relacionada ao momento total e à energia total .

Passo 3

Vamos começar com a definição relativística do momento total:
E a energia total do sistema é:
Onde é o momento de cada partícula e é a energia de cada partícula.

Passo 4

Na relatividade, a relação entre o momento e a energia de uma partícula é dada por:
e
Onde é o fator de Lorentz, é a massa da partícula, é a velocidade e é a velocidade da luz.

Passo 5

Para o centro de massa, queremos a velocidade que faz com que o sistema pareça ter essa velocidade como um todo. Então, relacionamos a velocidade do centro de massa com o momento e a energia totais.
Dividindo o momento total pela energia total, temos:
Aqui, é a massa total e é o fator de Lorentz associado à velocidade do centro de massa.

Passo 6

Isolando , multiplicamos ambos os lados por :
Isso mostra a relação desejada para a velocidade do centro de massa em termos do momento e da energia totais.

Resposta

A velocidade do centro de massa do sistema é dada por

Exercícios relacionados

O sistema sob consideração consiste de duas partículas carregadas de cargas e com pequenas massas e suportadas contra um campo gravitacional fraco que aponta para baixo por cordas de luz de igual comprimento presas ao teto. As partículas estão fixadas a uma distância uma da outra. Calcula a força externa total para manter o sistema em equilíbrio na vertical (supondo que elas já estejam mantidas em equilíbrio também na horizontal).
Uma partícula de massa de repouso se move com velocidade vista de um referencial . Se se move em relação a um referencial com velocidade , qual a energia total e o momento da partícula vistos por ? Se a partícula for um fóton, quais serão as transformações?
Em uma placa metálica de função trabalho , incide luz de comprimento de onda 600 nm . Qual deve ser a velocidade de aproximação da placa em relação à fonte de luz para que haja efeito fotoelétrico?
Num experimento que usa o efeito fotoelétrico, ilumina-se sucessivamente a superfície de um metal com luz de comprimentos de onda diferente, e , respectivamente. Sabe-se que as velocidades máximas dos fotoelétrons emitidos são, respectivamente, e . Determine a função trabalho do metal.