O sistema sob consideração consiste de duas partículas carregadas de cargas e com pequenas massas e suportadas contra um campo gravitacional fraco que aponta para baixo por cordas de luz de igual comprimento presas ao teto. As partículas estão fixadas a uma distância uma da outra. Calcula a força externa total para manter o sistema em equilíbrio na vertical (supondo que elas já estejam mantidas em equilíbrio também na horizontal).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas partículas carregadas com cargas e , e massas pequenas e . Elas estão penduradas por cordas de igual comprimento no teto, sob a influência de um campo gravitacional que aponta pra baixo. As partículas estão separadas horizontalmente por uma distância . Precisamos calcular a força externa total necessária para manter esse sistema em equilíbrio na direção vertical, assumindo que já está equilibrado na horizontal.
Matéria envolvida: Equilíbrio estático, forças em equilíbrio, forças elétricas (Lei de Coulomb) e forças gravitacionais.
O que vamos precisar:
  • Leis de Newton para equilíbrio.
  • Fórmulas para força gravitacional e força elétrica.
  • Análise das componentes das forças nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando em cada partícula. Cada uma tem:
  • Força gravitacional ( ): Puxa a partícula para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  • Tensão da corda ( ): Atua ao longo da corda, formando um ângulo com a vertical.
  • Força elétrica ( ): Como as partículas são carregadas, elas se repelem ou se atraem dependendo dos sinais das cargas. Essa força está horizontalmente para manter a distância entre elas.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero.
Na direção horizontal:
As forças elétricas são balanceadas pelas componentes horizontais das tensões das cordas.
Na direção vertical:
A soma das forças verticais deve equilibrar as forças gravitacionais.

Passo 4

Precisamos encontrar uma relação entre e as outras grandezas. Observando a distância horizontal e o comprimento das cordas, podemos usar trigonometria.
Se é o comprimento da corda, então:
Isolando :
E usando a identidade :

Passo 5

Agora, vamos expressar a força elétrica usando a Lei de Coulomb:
onde é a constante de Coulomb.
Substituindo isso na equação da direção horizontal:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação da direção vertical para encontrar a força externa :
Isolando :

Resposta

A força externa total necessária para manter o sistema em equilíbrio na vertical é:

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