O sistema sob consideração consiste de duas partículas carregadas de cargas q1 e q2 com pequenas massas m1 e m2 suportadas contra um campo gravitacional fraco que aponta para baixo por cordas de luz de igual comprimento presas ao teto. As partículas estão fixadas a uma distância l uma da outra. Calcula a força externa total para manter o sistema em equilíbrio na vertical (supondo que elas já estejam mantidas em equilíbrio também na horizontal).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas partículas carregadas com cargas e , e massas pequenas e . Elas estão penduradas por cordas de igual comprimento no teto, sob a influência de um campo gravitacional que aponta pra baixo. As partículas estão separadas horizontalmente por uma distância . Precisamos calcular a força externa total necessária para manter esse sistema em equilíbrio na direção vertical, assumindo que já está equilibrado na horizontal.
Matéria envolvida: Equilíbrio estático, forças em equilíbrio, forças elétricas (Lei de Coulomb) e forças gravitacionais.
O que vamos precisar:
  • Leis de Newton para equilíbrio.
  • Fórmulas para força gravitacional e força elétrica.
  • Análise das componentes das forças nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando em cada partícula. Cada uma tem:
  • Força gravitacional ( ): Puxa a partícula para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  • Tensão da corda ( ): Atua ao longo da corda, formando um ângulo com a vertical.
  • Força elétrica ( ): Como as partículas são carregadas, elas se repelem ou se atraem dependendo dos sinais das cargas. Essa força está horizontalmente para manter a distância entre elas.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero.
Na direção horizontal:
As forças elétricas são balanceadas pelas componentes horizontais das tensões das cordas.
sum Fx = 0 Rightarrow Fe = 2 cdot T cdot sin(theta)
Na direção vertical:
A soma das forças verticais deve equilibrar as forças gravitacionais.
sum Fy = 0 Rightarrow Fext + 2 cdot T cdot cos(theta) = Fg

Passo 4

Precisamos encontrar uma relação entre l = 2 cdot L cdot sin(theta) e as outras grandezas. Observando a distância horizontal sin(theta) = l2L e o comprimento das cordas, podemos usar trigonometria.
Se cos(theta) = raiz1 - (l2L)^2 é o comprimento da corda, então:
Isolando :
E usando a identidade :

Passo 5

Agora, vamos expressar a força elétrica Fe = k cdot |q1 cdot q2|l^2 usando a Lei de Coulomb:
k cdot |q1 cdot q2|l^2 = 2 cdot T cdot l2L
onde T = k cdot |q1 cdot q2| cdot Ll^3 é a constante de Coulomb.
Substituindo isso na equação da direção horizontal:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir Fext + 2 cdot k cdot |q1 cdot q2| cdot Ll^3 cdot raiz1 - (l2L)^2 = (m1 + m2) cdot g na equação da direção vertical para encontrar a força externa Fext = (m1 + m2) cdot g - 2 cdot k cdot |q1 cdot q2| cdot Ll^3 cdot raiz1 - (l2L)^2 :
Isolando :

Resposta

A força externa total necessária para manter o sistema em equilíbrio na vertical é:
Fext = (m1 + m2) cdot g - 2 cdot k cdot |q1 cdot q2| cdot Ll^3 cdot raiz1 - (l2L)^2

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