O sistema sob consideração consiste de duas partículas carregadas de cargas
e
com pequenas massas
e
suportadas contra um campo gravitacional fraco que aponta para baixo por cordas de luz de igual comprimento presas ao teto. As partículas estão fixadas a uma distância
uma da outra. Calcula a força externa total para manter o sistema em equilíbrio na vertical (supondo que elas já estejam mantidas em equilíbrio também na horizontal).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos duas partículas carregadas com cargas
e
, e massas pequenas
e
. Elas estão penduradas por cordas de igual comprimento no teto, sob a influência de um campo gravitacional que aponta pra baixo. As partículas estão separadas horizontalmente por uma distância
. Precisamos calcular a força externa total necessária para manter esse sistema em equilíbrio na direção vertical, assumindo que já está equilibrado na horizontal.
Matéria envolvida: Equilíbrio estático, forças em equilíbrio, forças elétricas (Lei de Coulomb) e forças gravitacionais.
O que vamos precisar:
- Leis de Newton para equilíbrio.
- Fórmulas para força gravitacional e força elétrica.
- Análise das componentes das forças nas direções horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando em cada partícula. Cada uma tem:
- Força gravitacional (
): Puxa a partícula para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Tensão da corda (
): Atua ao longo da corda, formando um ângulo com a vertical. - Força elétrica (
): Como as partículas são carregadas, elas se repelem ou se atraem dependendo dos sinais das cargas. Essa força está horizontalmente para manter a distância entre elas.
Passo 3
Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças em cada direção deve ser zero.
Na direção horizontal:
As forças elétricas são balanceadas pelas componentes horizontais das tensões das cordas.
As forças elétricas são balanceadas pelas componentes horizontais das tensões das cordas.
Na direção vertical:
A soma das forças verticais deve equilibrar as forças gravitacionais.
A soma das forças verticais deve equilibrar as forças gravitacionais.
Passo 4
Precisamos encontrar uma relação entre
e as outras grandezas. Observando a distância horizontal
e o comprimento das cordas, podemos usar trigonometria.
Se
é o comprimento da corda, então:
Isolando
:
E usando a identidade
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a força elétrica
usando a Lei de Coulomb:
onde
é a constante de Coulomb.
Substituindo isso na equação da direção horizontal:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na equação da direção vertical para encontrar a força externa
:
Isolando
:
Resposta
A força externa total necessária para manter o sistema em equilíbrio na vertical é: