Uma partícula de massa de repouso
se move com velocidade
vista de um referencial
. Se
se move em relação a um referencial
com velocidade
, qual a energia total e o momento da partícula vistos por
? Se a partícula for um fóton, quais serão as transformações?
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar a energia total e o momento de uma partícula de massa de repouso
que está se movendo com velocidade
no referencial
. Além disso, o referencial
está se movendo em relação ao referencial
com velocidade
. Precisamos usar os conceitos de relatividade restrita, especificamente as transformações de Lorentz, para resolver isso. Vamos também ver o que muda se a partícula for um fóton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na relatividade especial, a energia total
e o momento
de uma partícula estão relacionados pela equação:
onde
é o fator de Lorentz,
é a velocidade da luz, e
é a velocidade da partícula no referencial considerado.
Passo 3
Como temos dois referenciais envolvidos,
e
, precisamos usar as transformações de velocidade de Lorentz para encontrar a velocidade
da partícula no referencial
. A transformação para velocidades ao longo da mesma direção (neste caso,
) é dada por:
Isso nos permite achar a velocidade da partícula em
a partir de sua velocidade em
e da velocidade relativa entre os referenciais.
Passo 4
Agora que temos a velocidade
da partícula em
, podemos calcular o fator de Lorentz
correspondente:
Com
, podemos então encontrar a energia total e o momento da partícula em
:
Passo 5
Se a partícula for um fóton, a situação muda porque fótons são partículas sem massa de repouso (
). Para fótons, a energia
e o momento
estão relacionados pela equação:
As transformações de energia e momento para fótons seguem as mesmas regras de transformação de Lorentz, mas levando em conta que a energia e o momento dependem diretamente da frequência e do comprimento de onda do fóton, que se transformam de acordo com o efeito Doppler relativístico.
Resposta
A energia total e o momento da partícula vistos pelo referencial
são dados por:
Se a partícula for um fóton, a energia e o momento transformam-se de forma que
, com as respectivas transformações Doppler relativísticas aplicadas à frequência e ao comprimento de onda do fóton.
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
colide frontalmente com uma partícula de massa
em repouso. A colisão dá origem à reação
sendo a massa da partícula
. Calcule a velocidade da partícula
.
O Bevatron em Berkeley foi construído com a ideia de produzir antiprótons através da reação
. Ou seja, um próton de alta energia atinge um próton em repouso criando (além das partículas originais), um par próton-antipróton. Qual a energia mínima do próton incidente?
O sistema sob consideração consiste de duas partículas carregadas de cargas
e
com pequenas massas
e
suportadas contra um campo gravitacional fraco que aponta para baixo por cordas de luz de igual comprimento presas ao teto. As partículas estão fixadas a uma distância
uma da outra. Calcula a força externa total para manter o sistema em equilíbrio na vertical (supondo que elas já estejam mantidas em equilíbrio também na horizontal).
Mostre que a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas se movendo em relação a um referencial inercial (laboratório) é dada por
com
e
a energia total e a velocidade total no referencial do laboratório.