Uma partícula de massa de repouso se move com velocidade vista de um referencial . Se se move em relação a um referencial com velocidade , qual a energia total e o momento da partícula vistos por ? Se a partícula for um fóton, quais serão as transformações?

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar a energia total e o momento de uma partícula de massa de repouso que está se movendo com velocidade no referencial . Além disso, o referencial está se movendo em relação ao referencial com velocidade . Precisamos usar os conceitos de relatividade restrita, especificamente as transformações de Lorentz, para resolver isso. Vamos também ver o que muda se a partícula for um fóton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade especial, a energia total e o momento de uma partícula estão relacionados pela equação:
onde é o fator de Lorentz, é a velocidade da luz, e é a velocidade da partícula no referencial considerado.

Passo 3

Como temos dois referenciais envolvidos, e , precisamos usar as transformações de velocidade de Lorentz para encontrar a velocidade da partícula no referencial . A transformação para velocidades ao longo da mesma direção (neste caso, ) é dada por:
Isso nos permite achar a velocidade da partícula em a partir de sua velocidade em e da velocidade relativa entre os referenciais.

Passo 4

Agora que temos a velocidade da partícula em , podemos calcular o fator de Lorentz correspondente:
Com , podemos então encontrar a energia total e o momento da partícula em :

Passo 5

Se a partícula for um fóton, a situação muda porque fótons são partículas sem massa de repouso ( ). Para fótons, a energia e o momento estão relacionados pela equação:
As transformações de energia e momento para fótons seguem as mesmas regras de transformação de Lorentz, mas levando em conta que a energia e o momento dependem diretamente da frequência e do comprimento de onda do fóton, que se transformam de acordo com o efeito Doppler relativístico.

Resposta

A energia total e o momento da partícula vistos pelo referencial são dados por:
Se a partícula for um fóton, a energia e o momento transformam-se de forma que , com as respectivas transformações Doppler relativísticas aplicadas à frequência e ao comprimento de onda do fóton.

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