Uma partícula de massa de repouso m0 se move com velocidade u^prime=u^prime widehatx vista de um referencial S^prime. Se S^prime se move em relação a um referencial S com velocidade v=v widehatx, qual a energia total e o momento da partícula vistos por S ? Se a partícula for um fóton, quais serão as transformações?

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar a energia total e o momento de uma partícula de massa de repouso que está se movendo com velocidade no referencial . Além disso, o referencial está se movendo em relação ao referencial com velocidade . Precisamos usar os conceitos de relatividade restrita, especificamente as transformações de Lorentz, para resolver isso. Vamos também ver o que muda se a partícula for um fóton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade especial, a energia total E = gamma m0 c^2 e o momento p = gamma m0 u de uma partícula estão relacionados pela equação:
onde é o fator de Lorentz, é a velocidade da luz, e é a velocidade da partícula no referencial considerado.

Passo 3

Como temos dois referenciais envolvidos, u = u' + v1 + u' vc^2 e , precisamos usar as transformações de velocidade de Lorentz para encontrar a velocidade da partícula no referencial . A transformação para velocidades ao longo da mesma direção (neste caso, ) é dada por:
Isso nos permite achar a velocidade da partícula em a partir de sua velocidade em e da velocidade relativa entre os referenciais.

Passo 4

Agora que temos a velocidade gamma = 1raiz1 - u^2c^2 da partícula em E = gamma m0 c^2 , podemos calcular o fator de Lorentz p = gamma m0 u correspondente:
Com , podemos então encontrar a energia total e o momento da partícula em :

Passo 5

Se a partícula for um fóton, a situação muda porque fótons são partículas sem massa de repouso ( E = p c ). Para fótons, a energia e o momento estão relacionados pela equação:
As transformações de energia e momento para fótons seguem as mesmas regras de transformação de Lorentz, mas levando em conta que a energia e o momento dependem diretamente da frequência e do comprimento de onda do fóton, que se transformam de acordo com o efeito Doppler relativístico.

Resposta

A energia total e o momento da partícula vistos pelo referencial u = u' + v1 + u' vc^2 são dados por:
gamma = 1raiz1 - u^2c^2
E = gamma m0 c^2
p = gamma m0 u
Se a partícula for um fóton, a energia e o momento transformam-se de forma que , com as respectivas transformações Doppler relativísticas aplicadas à frequência e ao comprimento de onda do fóton.

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