Problema 1.18 Dados os pontos e , encontre os pontos que dividem o segmento de reta em quatro partes iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos que dividem o segmento de reta entre os pontos e em quatro partes iguais. Isso envolve geometria analítica, especificamente a divisão de um segmento em partes iguais usando a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dividir o segmento em quatro partes iguais. Isso quer dizer que queremos três pontos, digamos , e , que dividem em quatro segmentos de igual comprimento: , , e .
Passo 3
Para encontrar esses pontos, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa razão. Se um ponto divide o segmento na razão , as coordenadas de são dadas por:
onde e são as coordenadas dos pontos e , respectivamente.
Passo 4
Como queremos dividir em quatro partes iguais, cada segmento será 1/4 do total. Portanto, os pontos , e irão dividir nas seguintes razões:
divide na razão
divide na razão (ou )
divide na razão
Passo 5
Vamos calcular as coordenadas de cada ponto usando a fórmula mencionada.
Para que divide na razão :
Então,
Passo 6
Para que divide na razão (ou seja, ):
Então,
Passo 7
Para que divide na razão :
Então,
Resposta
Os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais são: