Problema 1.18 Dados os pontos e , encontre os pontos que dividem o segmento de reta em quatro partes iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos que dividem o segmento de reta entre os pontos e em quatro partes iguais. Isso envolve geometria analítica, especificamente a divisão de um segmento em partes iguais usando a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dividir o segmento em quatro partes iguais. Isso quer dizer que queremos três pontos, digamos , e , que dividem em quatro segmentos de igual comprimento: , , e .
Passo 3
Para encontrar esses pontos, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa razão. Se um ponto P( m x2 + n x1m + n, m y2 + n y1m + n ) divide o segmento na razão , as coordenadas de são dadas por:
onde e são as coordenadas dos pontos e , respectivamente.
Passo 4
Como queremos dividir em quatro partes iguais, cada segmento será 1/4 do total. Portanto, os pontos , e irão dividir nas seguintes razões:
divide na razão
divide na razão (ou )
divide na razão
Passo 5
Vamos calcular as coordenadas de cada ponto usando a fórmula mencionada.
Para xP1 = 1 times 2 + 3 times (-1)1 + 3 = 2 - 34 = -14 = -0,25 que divide na razão yP1 = 1 times (-4) + 3 times (-3)1 + 3 = -4 - 94 = -134 = -3,25 :
Então,
Passo 6
Para xP2 = 2 times 2 + 2 times (-1)2 + 2 = 4 - 24 = 24 = 0,5 que divide na razão yP2 = 2 times (-4) + 2 times (-3)2 + 2 = -8 - 64 = -144 = -3,5 (ou seja, ):
Então,
Passo 7
Para xP3 = 3 times 2 + 1 times (-1)3 + 1 = 6 - 14 = 54 = 1,25 que divide na razão yP3 = 3 times (-4) + 1 times (-3)3 + 1 = -12 - 34 = -154 = -3,75 :
Então,
Resposta
Os pontos que dividem o segmento P1(-0,25, -3,25), P2(0,5, -3,5), P3(1,25, -3,75) em quatro partes iguais são: