Seja A in L(R^3) definida por A(x, y, z)=(x+y+z, x+y+z, x+y+z). Achar em base ortonormal B do R^3 tal que (A) B é diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que age em vetores do espaço tridimensional . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para onde a matriz de seja diagonal. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação linear A(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z) . Ela é definida por:
Isso significa que, independente do vetor que você coloque, a saída sempre terá todas as coordenadas iguais à soma das entradas.

Passo 3

Vamos representar A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 como uma matriz. Cada coluna da matriz representa como age nos vetores da base canônica. Assim, temos:

Passo 4

Para diagonalizar A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 1 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda , precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 1] - 1[(1)(1 - lambda) - 1] + 1[(1)(1) - (1)(1 - lambda)] são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Calculemos:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando, encontramos os autovalores e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá que . Portanto, os autovetores podem ser, por exemplo, e .

Passo 6

Agora, precisamos construir uma base ortonormal usando esses autovetores. Vamos primeiro normalizar cada autovetor.
Autovetor para u1 = 1raiz3(1, 1, 1) :
u2 = 1raiz2(1, -1, 0)
Autovetor 1 para u3 = 1raiz6(1, 1, -2) :
Autovetor 2 para :
Esses vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1, formando assim uma base ortonormal.

Resposta

Uma base ortonormal B = 1raiz3(1, 1, 1), 1raiz2(1, -1, 0), 1raiz6(1, 1, -2) para tal que a matriz de seja diagonal é dada por:

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