Seja definida por . Achar em base ortonormal do tal que (A) é diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que age em vetores do espaço tridimensional . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para onde a matriz de seja diagonal. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação linear . Ela é definida por:
Isso significa que, independente do vetor que você coloque, a saída sempre terá todas as coordenadas iguais à soma das entradas.
Passo 3
Vamos representar como uma matriz. Cada coluna da matriz representa como age nos vetores da base canônica. Assim, temos:
Passo 4
Para diagonalizar , precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Calculemos:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando, encontramos os autovalores e (com multiplicidade 2).
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá que . Portanto, os autovetores podem ser, por exemplo, e .
Passo 6
Agora, precisamos construir uma base ortonormal usando esses autovetores. Vamos primeiro normalizar cada autovetor.
Autovetor para :
Autovetor 1 para :
Autovetor 2 para :
Esses vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1, formando assim uma base ortonormal.
Resposta
Uma base ortonormal para tal que a matriz de seja diagonal é dada por: