Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador auto-adjunto
em um espaço euclidiano
de dimensão finita, e sabemos que
é positivo definido. O objetivo é mostrar que, se
é positivo definido e inversível, então o inverso de
, denotado por
, também é positivo definido.
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores auto-adjuntos e valores próprios. Precisaremos entender o que significa um operador ser positivo definido e como os valores próprios se comportam em relação ao inverso de um operador.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um operador ser positivo definido. Um operador auto-adjunto
é dito positivo definido se, para todo vetor não nulo
em
, o produto interno
é maior que zero:
Além disso, sabemos que se
é positivo definido, todos os seus valores próprios são reais e positivos.
Passo 3
Agora, vamos considerar o inverso de
, ou seja,
. Para que
exista,
deve ser invertível, o que é garantido se
for positivo definido (já que nenhum valor próprio é zero).
Nosso objetivo é mostrar que
também é positivo definido. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos utilizar os valores próprios para facilitar a demonstração. Como
é auto-adjunto e positivo definido, podemos diagonalizá-lo. Assim, existe uma base de
composta por vetores próprios de
, e podemos escrever
na forma diagonal:
onde
é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios positivos
de
, e
é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de
.
Passo 5
O inverso de
é dado por:
onde
é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os inversos dos valores próprios de
, ou seja,
.
Como todos os
, os elementos de
também são positivos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é positivo definido. Para qualquer vetor não nulo
, temos:
Como
é ortogonal (já que
é auto-adjunto), podemos simplificar a expressão. Considerando a diagonalização, concluímos que:
onde
são as coordenadas de
na base de autovetores.
Como cada
e
não são todos zero (já que
), temos que a soma é positiva:
Resposta
Portanto, mostramos que se
é um operador auto-adjunto positivo definido e inversível, então o seu inverso
também é positivo definido.