Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador auto-adjunto em um espaço euclidiano de dimensão finita, e sabemos que é positivo definido. O objetivo é mostrar que, se é positivo definido e inversível, então o inverso de , denotado por , também é positivo definido.
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores auto-adjuntos e valores próprios. Precisaremos entender o que significa um operador ser positivo definido e como os valores próprios se comportam em relação ao inverso de um operador.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um operador ser positivo definido. Um operador auto-adjunto é dito positivo definido se, para todo vetor não nulo em , o produto interno é maior que zero:
Além disso, sabemos que se é positivo definido, todos os seus valores próprios são reais e positivos.
Passo 3
Agora, vamos considerar o inverso de , ou seja, . Para que exista, deve ser invertível, o que é garantido se for positivo definido (já que nenhum valor próprio é zero).
Nosso objetivo é mostrar que também é positivo definido. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos utilizar os valores próprios para facilitar a demonstração. Como é auto-adjunto e positivo definido, podemos diagonalizá-lo. Assim, existe uma base de composta por vetores próprios de , e podemos escrever na forma diagonal:
onde é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios positivos de , e é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de .
Passo 5
O inverso de é dado por:
onde é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os inversos dos valores próprios de , ou seja, .
Como todos os , os elementos de também são positivos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se é positivo definido. Para qualquer vetor não nulo , temos:
Como é ortogonal (já que é auto-adjunto), podemos simplificar a expressão. Considerando a diagonalização, concluímos que:
onde são as coordenadas de na base de autovetores.
Como cada e não são todos zero (já que ), temos que a soma é positiva:
Resposta
Portanto, mostramos que se é um operador auto-adjunto positivo definido e inversível, então o seu inverso também é positivo definido.