Prove que é uma base de . Determine as coordenadas do polinômio em relação à esta base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o conjunto é uma base do espaço . Além disso, temos que encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, espaços vetoriais e coordenadas em relação a uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. No nosso caso, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Precisamos verificar se os 4 polinômios em satisfazem essas duas condições.
Passo 3
Vamos checar a independência linear. Para isso, assumimos que uma combinação linear dos elementos de resulta no polinômio nulo:
Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos expandir essa expressão.
Passo 4
Expandindo a combinação:
Agrupando os termos semelhantes:
Para isso ser igual ao polinômio nulo, os coeficientes de cada termo devem satisfazer:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
De d = 0.
De c = 0.
Substituindo d = 0 na terceira equação: -b = 0 Rightarrow b = 0.
Substituindo b = c = d = 0 na quarta equação: a = 0.
Como a única solução é a = b = c = d = 0, os polinômios em B são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, como P3(R) tem dimensão 4 e temos 4 polinômios em B que são linearmente independentes, isso significa que Bgera o espaço P3(R). Portanto, B é uma base desse espaço.
Passo 7
Vamos agora encontrar as coordenadas do polinômio t^3 em relação à base B. Precisamos expressar t^3 como uma combinação linear dos elementos de B:
t^3 = a cdot 1 + b cdot (2 - t) + c cdot (t^2 + 1) + d cdot (t^3 + t + 1)
Vamos expandir essa expressão:
t^3 = a + 2b - b t + c t^2 + c + d t^3 + d t + d
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
d t^3 + c t^2 + (-b + d) t + (a + 2b + c + d) = t^3
Para que essa igualdade seja válida, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais aos do polinômio t^3. Assim, temos o sistema:
d = 1 c = 0 -b + d = 0 a + 2b + c + d = 0
Passo 9
Resolvendo o sistema:
De d = 1.
De c = 0.
Substituindo d = 1 na terceira equação: -b + 1 = 0 Rightarrow b = 1.
Substituindo b = 1, c = 0 e d = 1 na quarta equação: a + 2(1) + 0 + 1 = 0 Rightarrow a + 3 = 0 Rightarrow a = -3.
Resposta
As coordenadas do polinômio t^3 em relação à base B são (-3, 1, 0, 1).