Prove que B=1,2-t, t^2+1, t^3+t+1 é uma base de P3(R). Determine as coordenadas do polinômio t^3 em relação à esta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o conjunto B = 1, 2 - t, t^2 + 1, t^3 + t + 1 é uma base do espaço P3(R). Além disso, temos que encontrar as coordenadas do polinômio t^3 nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, espaços vetoriais e coordenadas em relação a uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. No nosso caso, P3(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Precisamos verificar se os 4 polinômios em B satisfazem essas duas condições.

Passo 3

Vamos checar a independência linear. Para isso, assumimos que uma combinação linear dos elementos de B resulta no polinômio nulo:
a cdot 1 + b cdot (2 - t) + c cdot (t^2 + 1) + d cdot (t^3 + t + 1) = 0
Isso significa que os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero. Vamos expandir essa expressão.

Passo 4

Expandindo a combinação:
a + b(2) + b(-t) + c(t^2) + c(1) + d(t^3) + d(t) + d(1) = 0
Agrupando os termos semelhantes:
d t^3 + (c) t^2 + (-b + d) t + (a + 2b + c + d) = 0
Para isso ser igual ao polinômio nulo, os coeficientes de cada termo devem satisfazer:
d = 0 c = 0 -b + d = 0 a + 2b + c + d = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De d = 0.
  2. De c = 0.
  3. Substituindo d = 0 na terceira equação: -b = 0 Rightarrow b = 0.
  4. Substituindo b = c = d = 0 na quarta equação: a = 0.
Como a única solução é a = b = c = d = 0, os polinômios em B são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, como P3(R) tem dimensão 4 e temos 4 polinômios em B que são linearmente independentes, isso significa que B gera o espaço P3(R). Portanto, B é uma base desse espaço.

Passo 7

Vamos agora encontrar as coordenadas do polinômio t^3 em relação à base B. Precisamos expressar t^3 como uma combinação linear dos elementos de B:
t^3 = a cdot 1 + b cdot (2 - t) + c cdot (t^2 + 1) + d cdot (t^3 + t + 1)
Vamos expandir essa expressão:
t^3 = a + 2b - b t + c t^2 + c + d t^3 + d t + d

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes:
d t^3 + c t^2 + (-b + d) t + (a + 2b + c + d) = t^3
Para que essa igualdade seja válida, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais aos do polinômio t^3. Assim, temos o sistema:
d = 1 c = 0 -b + d = 0 a + 2b + c + d = 0

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. De d = 1.
  2. De c = 0.
  3. Substituindo d = 1 na terceira equação: -b + 1 = 0 Rightarrow b = 1.
  4. Substituindo b = 1, c = 0 e d = 1 na quarta equação: a + 2(1) + 0 + 1 = 0 Rightarrow a + 3 = 0 Rightarrow a = -3.

Resposta

As coordenadas do polinômio t^3 em relação à base B são (-3, 1, 0, 1).

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