Seja W o subespaço do R^3 gerado pelos vetores u1=(1,-3,2), u2=(2,-4,-1) e u3=(1,-5,7).
Determine uma base para W e a dimensão de W.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! Temos um subespaço de gerado por três vetores: , e . Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender conceitos de dependência linear e como identificar vetores que podem formar uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço. Dois conceitos importantes aqui são:
  • Dependência Linear: Um conjunto de vetores é dito dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Independência Linear: Um conjunto de vetores é independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Para descobrir quais vetores formam uma base para , precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Se não, vamos eliminar os vetores dependentes até restar um conjunto de vetores independentes.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores 1 & 2 & 1 -3 & -4 & -5 2 & -1 & 7 , R2: -3 + 3(1) = 0, -4 + 3(2) = 2, -5 + 3(1) = -2 e R3: 2 - 2(1) = 0, -1 - 2(2) = -5, 7 - 2(1) = 5 como colunas e realizar a operação de redução para escada para verificar a independência linear:
1 & 2 & 1 0 & 2 & -2 0 & -5 & 5
Agora, vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz:
  1. Usar o primeiro pivô (1 na posição (1,1)) para eliminar os elementos abaixo dele:
    • R3: 0 + 0 = 0, -5 + 52(2) = 0, 5 + 52(-2) = 0 :
      1 & 2 & 1 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0
    • :
    A matriz fica assim:
  2. Usar o segundo pivô (2 na posição (2,2)) para eliminar o elemento abaixo dele:
    • :
    A matriz fica:

Passo 4

Após a redução, observamos que a última linha é toda zero, o que indica que há uma dependência linear entre os vetores. Isso significa que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, os vetores e são suficientes para gerar e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.

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