Seja o subespaço do gerado pelos vetores , e .
Determine uma base para e a dimensão de .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! Temos um subespaço de gerado por três vetores: , e . Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender conceitos de dependência linear e como identificar vetores que podem formar uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço. Dois conceitos importantes aqui são:
Dependência Linear: Um conjunto de vetores é dito dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Independência Linear: Um conjunto de vetores é independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Para descobrir quais vetores formam uma base para , precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Se não, vamos eliminar os vetores dependentes até restar um conjunto de vetores independentes.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas e realizar a operação de redução para escada para verificar a independência linear:
Agora, vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz:
Usar o primeiro pivô (1 na posição (1,1)) para eliminar os elementos abaixo dele:
R3: 0 + 0 = 0, -5 + 52(2) = 0, 5 + 52(-2) = 0 :
1 & 2 & 1 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0
:
A matriz fica assim:
Usar o segundo pivô (2 na posição (2,2)) para eliminar o elemento abaixo dele:
:
A matriz fica:
Passo 4
Após a redução, observamos que a última linha é toda zero, o que indica que há uma dependência linear entre os vetores. Isso significa que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, os vetores e são suficientes para gerar e são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.