Seja T: R^3 R^3 linear tal que T(1,1,1)=(2,-1,4), T(1,1,0)=(3,0,1) e T(1,0,0)=(-1,5,1).
a) Encontre a expressão para T(x, y, z).
b) Determine v in R^3 tal que T(v)=v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente tem uma transformação linear e queremos encontrar a expressão geral dela e depois descobrir um vetor que não muda quando aplicamos nele (ou seja, ). Para isso, vamos precisar usar os conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em x y z pode ser representada por uma matriz tal que . Nosso objetivo é encontrar a matriz .

Passo 3

Sabemos que:
T(1,1,1) = 2 -1 4 , T(1,1,0) = 3 0 1 , T(1,0,0) = -1 5 1
Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos supor que a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k seja:
T(x, y, z) = a & b & c d & e & f g & h & k x y z = ax + by + cz dx + ey + fz gx + hy + kz
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores dados:
  1. Para a(1) + b(1) + c(1) = 2 Rightarrow a + b + c = 2 :
d(1) + e(1) + f(1) = -1 Rightarrow d + e + f = -1
g(1) + h(1) + k(1) = 4 Rightarrow g + h + k = 4
a(1) + b(1) + c(0) = 3 Rightarrow a + b = 3
  1. Para d(1) + e(1) + f(0) = 0 Rightarrow d + e = 0 :
g(1) + h(1) + k(0) = 1 Rightarrow g + h = 1
a(1) + b(0) + c(0) = -1 Rightarrow a = -1
d(1) + e(0) + f(0) = 5 Rightarrow d = 5
  1. Para g(1) + h(0) + k(0) = 1 Rightarrow g = 1 :

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações:
  • Já sabemos que -1 + b = 3 Rightarrow b = 4 , 1 + h = 1 Rightarrow h = 0 e 5 + e = 0 Rightarrow e = -5 .
  • Da equação -1 + 4 + c = 2 Rightarrow 3 + c = 2 Rightarrow c = -1 :
5 - 5 + f = -1 Rightarrow 0 + f = -1 Rightarrow f = -1
  • Da equação 1 + 0 + k = 4 Rightarrow k = 3 :
  • Da equa��ão :
  • Da equação :
  • Da equação :
  • Da equação :

Passo 7

Com todos os valores encontrados, a matriz A = -1 & 4 & -1 5 & -5 & -1 1 & 0 & 3 fica:
T(x, y, z) = -1 & 4 & -1 5 & -5 & -1 1 & 0 & 3 x y z = -1x + 4y - 1z 5x - 5y - 1z 1x + 0y + 3z
Então, a expressão para é:

Resposta

a) A expressão para T(x, y, z) = -1 & 4 & -1 5 & -5 & -1 1 & 0 & 3 x y z = - x + 4y - z 5x - 5y - z x + 3z é:

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