Sejam
e
. Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no
:
Passo 1
Beleza, o enunciado fala que temos dois vetores no plano,
e
. A missão aqui é mostrar que certas operações que vamos ver abaixo realmente funcionam como um produto interno em
. Ou seja, precisamos verificar se essas operações cumprem as regras que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, é uma maneira de multiplicar dois vetores que resulta em um número real. Para que uma operação seja considerada um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades principais:
-
Positividade: Para qualquer vetor
, o produto interno deve ser maior ou igual a zero, e só será zero se for o vetor nulo. -
Simetria: O produto interno deve ser igual se trocarmos os vetores. Ou seja,
. -
Linearidade na primeira posição: Se a gente tiver um vetor
que é a soma de dois vetores ou um múltiplo escalar de um vetor, o produto interno deve distribuir dessa forma. Matematicamente, , onde e são escalares.
Passo 3
Agora, vamos olhar para cada operação que foi proposta no exercício e verificar se ela segue essas três propriedades. Como você não listou as operações específicas, vou te dar um exemplo de como fazer isso usando a operação padrão do produto interno, que é:
Vamos verificar as três propriedades:
-
Positividade:E
se e somente se e , ou seja, é o vetor nulo. -
Simetria:Então, a simetria está garantida.
-
Linearidade na primeira posição:
Se, onde , então: Isso mostra que a linearidade também está satisfeita.
Resposta
Assim, mostramos que a operação
satisfaz as propriedades de um produto interno em
.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine o valor de
para que o conjunto
seja LI
Sabendo que
e que
e
formam um ângulo de
rad, determinar
.
a) Mostre que os vetores
e
geram
.
Seja
o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem
.
é um reticulado? Justifique.