Sejam e . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no :

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que temos dois vetores no plano, e . A missão aqui é mostrar que certas operações que vamos ver abaixo realmente funcionam como um produto interno em . Ou seja, precisamos verificar se essas operações cumprem as regras que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, é uma maneira de multiplicar dois vetores que resulta em um número real. Para que uma operação seja considerada um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Positividade: Para qualquer vetor , o produto interno deve ser maior ou igual a zero, e só será zero se for o vetor nulo.
  2. Simetria: O produto interno deve ser igual se trocarmos os vetores. Ou seja, .
  3. Linearidade na primeira posição: Se a gente tiver um vetor que é a soma de dois vetores ou um múltiplo escalar de um vetor, o produto interno deve distribuir dessa forma. Matematicamente, , onde e são escalares.

Passo 3

Agora, vamos olhar para cada operação que foi proposta no exercício e verificar se ela segue essas três propriedades. Como você não listou as operações específicas, vou te dar um exemplo de como fazer isso usando a operação padrão do produto interno, que é:
Vamos verificar as três propriedades:
  1. Positividade:
    E se e somente se e , ou seja, é o vetor nulo.
  2. Simetria:
    Então, a simetria está garantida.
  3. Linearidade na primeira posição:
    Se , onde , então:
    Isso mostra que a linearidade também está satisfeita.

Resposta

Assim, mostramos que a operação satisfaz as propriedades de um produto interno em .

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.
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