Mostre que o volume de uma esfera de raio é .
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que o volume de uma esfera com raio é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas esféricas, que nos ajudam a calcular volumes de formas arredondadas como a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma esfera. Uma esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão a uma distância do centro. Para calcular o volume, vamos pensar em somar infinitas camadas circulares (discos) de raio variável que, empilhadas, formam a esfera.
Passo 3
Vamos considerar que a esfera está centrada na origem dos eixos coordenados. Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar o cálculo. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por , onde:
- é a distância do ponto à origem (neste caso, ),
- é o ângulo polar,
- é o ângulo azimutal.
Passo 4
O volume em coordenadas esféricas é calculado pela integral tripla:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a :
Passo 7
Por último, integramos em relação a :
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Portanto, o volume de uma esfera de raio é .