Mostre que o volume de uma esfera de raio é .

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que o volume de uma esfera com raio é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas esféricas, que nos ajudam a calcular volumes de formas arredondadas como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma esfera. Uma esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão a uma distância do centro. Para calcular o volume, vamos pensar em somar infinitas camadas circulares (discos) de raio variável que, empilhadas, formam a esfera.

Passo 3

Vamos considerar que a esfera está centrada na origem dos eixos coordenados. Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar o cálculo. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por , onde: - é a distância do ponto à origem (neste caso, ), - é o ângulo polar, - é o ângulo azimutal.

Passo 4

O volume em coordenadas esféricas é calculado pela integral tripla: Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais: Portanto, o volume de uma esfera de raio é .

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