Seria
um subespaço vetorial do
? Por quê?
Passo 1
Vamos entender o enunciado da questão. Queremos saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se
atende a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
de pertence a . - Fechamento pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
.
Vamos ver se
está em
:
Como
, o vetor zero não está em
.
Passo 4
2. Verificando o fechamento pela adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em
, vamos analisar a adição para completar a verificação.
Considere dois vetores em
:
Como
e
estão em
:
Agora, somando
:
Vamos verificar se
:
Sabemos que
e
, então:
O resultado não é necessariamente igual a 1, então
não necessariamente está em
.
Passo 5
3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Novamente, como o vetor zero não está em
, já sabemos que
não é um subespaço vetorial. Mas para completar, vamos verificar a multiplicação por escalar.
Considere um vetor
em
e um escalar
. Então:
Vamos verificar se
:
Para que
, o escalar
deve ser
. Para qualquer outro valor de
, a condição
não é satisfeita, portanto
não está necessariamente em
.
Resposta
Não,
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero e não é fechado pela adição e multiplicação por escalar.
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Mostre
é um subespaço vetorial do
.
Seria o corpo
um espaço vetorial sob re o
? E o corpo
é um espaço vetorial sobre
?
Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.