Seria W=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=1 um subespaço vetorial do R^3 ? Por quê?

Passo 1

Vamos entender o enunciado da questão. Queremos saber se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se atende a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor de pertence a .
  2. Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 neq 1 :
O vetor zero em é .
Vamos ver se está em :
Como , o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Verificando o fechamento pela adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) , vamos analisar a adição para completar a verificação.
Considere dois vetores em x1^2 + y1^2 = 1 e x2^2 + y2^2 = 1 :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Como (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2 e (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = 1 + 1 + 2x1x2 + 2y1y2 = 2 + 2(x1x2 + y1y2) estão em :
Agora, somando :
Vamos verificar se :
Sabemos que e , então:
O resultado não é necessariamente igual a 1, então não necessariamente está em .

Passo 5

3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Novamente, como o vetor zero não está em cu = (cx, cy, cz) , já sabemos que c^2x^2 + c^2y^2 = c^2(x^2 + y^2) = c^2 cdot 1 = c^2 não é um subespaço vetorial. Mas para completar, vamos verificar a multiplicação por escalar.
Considere um vetor em e um escalar . Então:
Vamos verificar se :
Para que , o escalar deve ser . Para qualquer outro valor de , a condição não é satisfeita, portanto não está necessariamente em .

Resposta

Não, não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero e não é fechado pela adição e multiplicação por escalar.

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