As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? cos^2(x), sen^2(x) em qualquer intervalo

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo. Isso faz parte do estudo de combinação linear e independência linear na matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que não dá pra escrever uma função como uma combinação da outra. Em termos matemáticos, a única solução para a equação
é
Se conseguirmos encontrar valores de e diferentes de zero que satisfaçam essa equação para todo , então as funções não são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos tentar encontrar tais constantes e . A gente sabe que, para todo ,
Isso é uma identidade trigonométrica bem conhecida. Agora, vamos comparar com a nossa equação de combinação linear:
Se a gente escolher e , temos:
Mas queremos que a combinação dê zero. Vamos então ver se existe alguma relação entre essas funções que possa anular a expressão.

Passo 4

Observando que , podemos substituir na equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada termo devem ser zero:
Substituindo na segunda equação:
Então, a única solução é e , o que confirma que as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo.

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