As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em qualquer intervalo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se as funções
e
são linearmente independentes em qualquer intervalo. Isso faz parte do estudo de combinação linear e independência linear na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que não dá pra escrever uma função como uma combinação da outra. Em termos matemáticos, a única solução para a equação
é
Se conseguirmos encontrar valores de
e
diferentes de zero que satisfaçam essa equação para todo
, então as funções não são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos tentar encontrar tais constantes
e
. A gente sabe que, para todo
,
Isso é uma identidade trigonométrica bem conhecida. Agora, vamos comparar com a nossa equação de combinação linear:
Se a gente escolher
e
, temos:
Mas queremos que a combinação dê zero. Vamos então ver se existe alguma relação entre essas funções que possa anular a expressão.
Passo 4
Observando que
, podemos substituir na equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser zero:
Substituindo
na segunda equação:
Então, a única solução é
e
, o que confirma que as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em qualquer intervalo.