As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? em
Passo 1
Então, temos o exercício que pergunta se as funções e são linearmente independentes no intervalo . Vamos precisar entender o conceito de independência linear de funções e como aplicá-lo usando, por exemplo, o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, se não existe nenhuma combinação não trivial dessas funções que resulte na função zero em todo o intervalo, elas são independentes. Ou seja, se a única solução para for , então elas são linearmente independentes.
Passo 3
Uma maneira eficiente de verificar a independência linear de duas funções é calculando o Wronskiano. O Wronskiano para duas funções e é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções:
Passo 5
Agora, vamos calcular o Wronskiano:
Passo 6
Para que o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo , precisamos que . Resolvendo essa desigualdade:
Passo 7
Portanto, se , o Wronskiano não é zero em todo o intervalo, o que significa que as funções e são linearmente independentes em .
Resposta
As funções e são linearmente independentes no intervalo para todo valor de diferente de 2.