As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? 3x^2, 2x^n em 0 < x < 1

Passo 1

Então, temos o exercício que pergunta se as funções e são linearmente independentes no intervalo . Vamos precisar entender o conceito de independência linear de funções e como aplicá-lo usando, por exemplo, o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, se não existe nenhuma combinação não trivial dessas funções que resulte na função zero em todo o intervalo, elas são independentes. Ou seja, se a única solução para for , então elas são linearmente independentes.

Passo 3

Uma maneira eficiente de verificar a independência linear de duas funções é calculando o Wronskiano. O Wronskiano para duas funções e é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:

Passo 5

Agora, vamos calcular o Wronskiano:

Passo 6

Para que o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo , precisamos que . Resolvendo essa desigualdade:

Passo 7

Portanto, se , o Wronskiano não é zero em todo o intervalo, o que significa que as funções e são linearmente independentes em .

Resposta

As funções e são linearmente independentes no intervalo para todo valor de diferente de 2.

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