Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se
e
, então a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a zero. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Isso é necessário porque
e
são ambas funções de
.
Calculando
:
Usando a regra da cadeia:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 4
Com a primeira derivada
, vamos agora encontrar a segunda derivada
.
Como
é uma constante (-1/2), sua derivada em relação a
será zero, porque a derivada de uma constante é sempre zero.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Em cada parte, selecione o termo que melhor descreve as curvas de nível da função
. Escolha dentre os termos: retas, círculos, elipses não circulares, parábolas ou hipérboles.
43. (a)
43. (a)
Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo
que a função
sofre quando se passa de
para
. Calcule o erro
.
Calcule
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
a)
a)