Mostre que se x = cos(2t) e y = sen^2(t), então d²y/dx² = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se e , então a segunda derivada de em relação a , ou seja, , é igual a zero. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Isso é necessário porque e são ambas funções de .
Calculando :
Usando a regra da cadeia:
Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 4

Com a primeira derivada , vamos agora encontrar a segunda derivada .
Como é uma constante (-1/2), sua derivada em relação a será zero, porque a derivada de uma constante é sempre zero.

Resposta

Portanto, .

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