Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo que a função sofre quando se passa de para . Calcule o erro .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos descobrir quanto aumenta quando passa de 1 para 1,01. Vamos usar o conceito de diferencial para isso. Para resolver, vamos precisar calcular a diferencial da função e comparar com o aumento real . No final, também vamos calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação de em relação a , e é fundamental para calcular a diferencial.
A derivada de é:
Isso significa que para cada pequeno aumento em , o aumento correspondente em pode ser aproximado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferencial quando e .
Substituindo na derivada:
Então, a diferencial é:
Isso significa que, aproximando, quando aumenta em 0,01, aumenta aproximadamente 0,03.

Passo 4

Agora, vamos calcular o aumento real . Para isso, substituímos os valores de na função original.
Para :
Para :
Então, o aumento real é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o erro entre o aumento real e a diferencial :
Isso mostra quão precisa foi a aproximação usando diferenciais.

Resposta

O acréscimo aproximado é 0,03 e o erro é 0,000301.

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43. (a)
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