Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular . Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que é um ponto singular regular da equação diferencial . Além disso, precisamos encontrar os expoentes nesse ponto e os três primeiros termos não nulos de duas soluções diferentes ao redor de . Para resolver isso, vamos usar o método de pontos singulares regulares e a série de Frobenius.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial de segunda ordem da forma geral:
um ponto é chamado de singular se . Se, além disso, as funções e têm polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em , então é um ponto singular regular.
Passo 3
Vamos identificar , e na nossa equação:
Agora, vamos verificar se é um ponto singular. Substituindo em :
Então, é de fato um ponto singular.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é um ponto singular regular. Calculamos e :
Analisando em , temos um polo de ordem 1. Já também tem polos de ordem 2 em . Portanto, é um ponto singular regular.
Passo 5
Agora que estabelecemos que é um ponto singular regular, vamos encontrar os expoentes usando a equação indicial. A equação de indicial para uma equação de segunda ordem em um ponto singular regular é dada por:
onde e são os coeficientes das menores potências de em e , respectivamente.
Passo 6
Vamos expandir e em séries de potências ao redor de :
Então, o termo de menor potência de é , ou seja, .
Aqui, o termo de menor potência de é . No entanto, para a equação indicial, consideramos o coeficiente do termo , que é . Assim, .
Passo 7
Substituindo e na equação indicial:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os expoentes são:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as duas soluções utilizando a série de Frobenius, que assume uma solução da forma:
Vamos começar com :
Assumindo , determinamos os coeficientes substituindo na equação diferencial e igualando os termos de mesma potência de .
Passo 9
Após calcular, encontramos os três primeiros termos para cada solução:
Para :
Para :
Onde e são constantes arbitrárias, e os demais coeficientes são determinados a partir da equação diferencial.
Resposta
Os expoentes no ponto singular são:
As três primeiras termos não nulos das duas soluções distintas em torno de são:
Onde e são constantes arbitrárias.
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(b)
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