Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular . Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de . (b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que é um ponto singular regular da equação diferencial . Além disso, precisamos encontrar os expoentes nesse ponto e os três primeiros termos não nulos de duas soluções diferentes ao redor de . Para resolver isso, vamos usar o método de pontos singulares regulares e a série de Frobenius.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial de segunda ordem da forma geral: um ponto é chamado de singular se . Se, além disso, as funções e têm polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em , então é um ponto singular regular.

Passo 3

Vamos identificar , e na nossa equação: Agora, vamos verificar se é um ponto singular. Substituindo em : Então, é de fato um ponto singular.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um ponto singular regular. Calculamos e : Analisando em , temos um polo de ordem 1. Já também tem polos de ordem 2 em . Portanto, é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora que estabelecemos que é um ponto singular regular, vamos encontrar os expoentes usando a equação indicial. A equação de indicial para uma equação de segunda ordem em um ponto singular regular é dada por: onde e são os coeficientes das menores potências de em e , respectivamente.

Passo 6

Vamos expandir e em séries de potências ao redor de : Então, o termo de menor potência de é , ou seja, . Aqui, o termo de menor potência de é . No entanto, para a equação indicial, consideramos o coeficiente do termo , que é . Assim, .

Passo 7

Substituindo e na equação indicial: Resolvendo a equação quadrática: Portanto, os expoentes são:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as duas soluções utilizando a série de Frobenius, que assume uma solução da forma: Vamos começar com : Assumindo , determinamos os coeficientes substituindo na equação diferencial e igualando os termos de mesma potência de .

Passo 9

Após calcular, encontramos os três primeiros termos para cada solução: Para : Para : Onde e são constantes arbitrárias, e os demais coeficientes são determinados a partir da equação diferencial.

Resposta

Os expoentes no ponto singular são: As três primeiras termos não nulos das duas soluções distintas em torno de são: Onde e são constantes arbitrárias.

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