Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica k=200 N / m e massa m=2 Kg. Em t=0 o deslocamento do oscilador é de raiz3 m e a velocidade de 10 m / s. Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma mola de constante elástica e uma massa . No tempo inicial , a posição está deslocada e a velocidade é . Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolve cálculos de período, amplitude, fase, e as funções de posição, velocidade e aceleração ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período T = 2pi raizmk do movimento. O período é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um sistema massa-mola é:
T = 2pi raiz2200 = 2pi raiz0,01 = 2pi times 0,1 = 0,2pi , s
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar a amplitude x(t) = A cos(omega t + phi) do movimento. A amplitude é o deslocamento máximo da posição de equilíbrio. Para isso, precisamos relacionar a posição e a velocidade iniciais usando as equações do movimento harmônico simples:
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
omega = raizkm = raiz2002 = raiz100 = 10 , rad/s
Onde x(0) = A cos(phi) = raiz3 é a frequência angular, dada por:
v(0) = -A omega sin(phi) = 10
No instante A cos(phi) = raiz3 Rightarrow cos(phi) = raiz3A :
-A omega sin(phi) = 10 Rightarrow sin(phi) = -10A omega = -10A times 10 = -1A
( raiz3A )^2 + ( -1A )^2 = 1
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
3A^2 + 1A^2 = 1
Da segunda equação:
4A^2 = 1 Rightarrow A^2 = 4 Rightarrow A = 2 , m
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que temos a amplitude sin(phi) = -1A = -12 , vamos encontrar o ângulo de fase . Voltando à equação da velocidade inicial:
Sabemos que corresponde a ou . Mas considerando a posição positiva inicial, escolhemos .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar as funções de posição x(t) = A cos(omega t + phi) = 2 cos(10t - pi6) , velocidade v(t) = -A omega sin(omega t + phi) = -2 times 10 sin(10t - pi6) = -20 sin(10t - pi6) e aceleração a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi) = -2 times 10^2 cos(10t - pi6) = -200 cos(10t - pi6) em função do tempo. Já temos:
Para a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
E para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo:

Resposta

(a) O período do movimento é x(t) = 2 cos(10t - pi6) , a amplitude é v(t) = -20 sin(10t - pi6) e o ângulo de fase é a(t) = -200 cos(10t - pi6) .
(b) As funções em função do tempo são:

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