Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica
e massa
. Em
o deslocamento do oscilador é de
e a velocidade de
. Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma mola de constante elástica
e uma massa
. No tempo inicial
, a posição está deslocada
e a velocidade é
. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolve cálculos de período, amplitude, fase, e as funções de posição, velocidade e aceleração ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o período
do movimento. O período é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um sistema massa-mola é:
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar a amplitude
do movimento. A amplitude é o deslocamento máximo da posição de equilíbrio. Para isso, precisamos relacionar a posição e a velocidade iniciais usando as equações do movimento harmônico simples:
Onde
é a frequência angular, dada por:
No instante
:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora que temos a amplitude
, vamos encontrar o ângulo de fase
. Voltando à equação da velocidade inicial:
Sabemos que
corresponde a
ou
. Mas considerando a posição positiva inicial, escolhemos
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar as funções de posição
, velocidade
e aceleração
em função do tempo. Já temos:
Para a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
E para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Resposta
(a) O período do movimento é
, a amplitude é
e o ângulo de fase é
.
(b) As funções em função do tempo são:
Exercícios relacionados
Seja a posição do OHS dada por
. Obtenha o parâmetro
e o ângulo de fase em função das condições iniciais
e
.
Mostre que
, é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples.
Um sistema massa-mola, de massa
, constante elástica
e comprimento natural
, é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição
e a frequência de oscilação.
Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é
. Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de
e da gravidade
do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.