Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica e massa . Em o deslocamento do oscilador é de e a velocidade de . Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma mola de constante elástica e uma massa . No tempo inicial , a posição está deslocada e a velocidade é . Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolve cálculos de período, amplitude, fase, e as funções de posição, velocidade e aceleração ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período do movimento. O período é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um sistema massa-mola é:
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar a amplitude do movimento. A amplitude é o deslocamento máximo da posição de equilíbrio. Para isso, precisamos relacionar a posição e a velocidade iniciais usando as equações do movimento harmônico simples:
Onde é a frequência angular, dada por:
No instante :
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que temos a amplitude , vamos encontrar o ângulo de fase . Voltando à equação da velocidade inicial:
Sabemos que corresponde a ou . Mas considerando a posição positiva inicial, escolhemos .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar as funções de posição , velocidade e aceleração em função do tempo. Já temos:
Para a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
E para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo:

Resposta

(a) O período do movimento é , a amplitude é e o ângulo de fase é .
(b) As funções em função do tempo são:

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