Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica
e massa
. Em
o deslocamento do oscilador é de
e a velocidade de
. Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma mola de constante elástica
e uma massa
. No tempo inicial
, a posição está deslocada
e a velocidade é
. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolve cálculos de período, amplitude, fase, e as funções de posição, velocidade e aceleração ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o período
do movimento. O período é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um sistema massa-mola é:
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar a amplitude
do movimento. A amplitude é o deslocamento máximo da posição de equilíbrio. Para isso, precisamos relacionar a posição e a velocidade iniciais usando as equações do movimento harmônico simples:
Onde
é a frequência angular, dada por:
No instante
:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora que temos a amplitude
, vamos encontrar o ângulo de fase
. Voltando à equação da velocidade inicial:
Sabemos que
corresponde a
ou
. Mas considerando a posição positiva inicial, escolhemos
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar as funções de posição
, velocidade
e aceleração
em função do tempo. Já temos:
Para a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
E para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Resposta
(a) O período do movimento é
, a amplitude é
e o ângulo de fase é
.
(b) As funções em função do tempo são: