Seja a posição do OHS dada por x(t)=A cos (omega0 t+phi). Obtenha o parâmetro A e o ângulo de fase em função das condições iniciais x(0)=x0 e v(0)=v0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem a posição de uma partícula no tempo dada por . Nosso objetivo é encontrar a amplitude e o ângulo de fase usando as condições iniciais: e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo na equação . Aqui, é a amplitude, que representa a máxima posição que a partícula alcança em relação ao ponto de equilíbrio. é a frequência angular, que indica quão rápido o movimento oscila. E é o ângulo de fase, que determina a posição inicial da partícula no tempo .

Passo 3

Vamos começar aplicando a condição inicial x(0) = A cos(omega0 cdot 0 + phi) implies x0 = A cos(phi) . Substituindo na equação da posição:
Isso nos dá a primeira equação relacionando e .

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a velocidade inicial v(t) = dx(t)dt = -A omega0 sin(omega0 t + phi) . Primeiro, vamos derivar a função v(0) = -A omega0 sin(omega0 cdot 0 + phi) implies v0 = -A omega0 sin(phi) em relação ao tempo para encontrar a velocidade :
Aplicando a condição inicial :
Agora temos uma segunda equação envolvendo e .

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações:
x0 = A cos(phi) v0 = -A omega0 sin(phi)
Para resolver esse sistema, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar v0x0 = -A omega0 sin(phi)A cos(phi) implies v0x0 = -omega0 tan(phi) :
tan(phi) = -v0omega0 x0 implies phi = arctan(-v0omega0 x0)
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos x0 = A cos(phi) , podemos voltar à primeira equação para encontrar A = x0cos(phi) . Sabemos que:
A = x0cos( arctan(-v0omega0 x0) )
Isolando A = x0 raiz1 + (v0omega0 x0)^2 = raizx0^2 + (v0omega0)^2 :
Substituindo que encontramos:
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Resposta

A amplitude e o ângulo de fase são dados por:
A = raizx0^2 + (v0omega0)^2
phi = arctan(-v0omega0 x0)

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