Mostre que é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido. Ou seja, mostre que essa equação horária resolve a equação desde que .
Isto é, o valor da envoltória do termo que oscila em .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função é solução da equação diferencial do oscilador criticamente amortecido, que é dada por:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais e osciladores amortecidos. Precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação para verificar se ela é satisfeita, assumindo que .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação ao tempo :
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo :
Novamente, usamos a regra do produto.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
Observamos que os termos e se cancelam.

Passo 8

Ficamos com:
Fatorando :

Passo 9

Para que a equação seja igual a zero para todo , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz a equação diferencial do oscilador criticamente amortecido quando .

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