Mostre que x(t)=t e^-gamma t / 2 é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido. Ou seja, mostre que essa equação horária resolve a equação ddotx+gamma dotx+omega0^2 x=0 desde que omega0=gamma / 2.
^1 Isto é, o valor da envoltória do termo que oscila em x(t).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0 é solução da equação diferencial do oscilador criticamente amortecido, que é dada por:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais e osciladores amortecidos. Precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação para verificar se ela é satisfeita, assumindo que .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de dotx(t) = ddt ( t e^-gamma t2 ) em relação ao tempo :
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
dotx(t) = 1 cdot e^-gamma t2 + t cdot ( -gamma2 e^-gamma t2 ) = e^-gamma t2 - gamma t2 e^-gamma t2
Podemos fatorar dotx(t) = e^-gamma t2 ( 1 - gamma t2 ) :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de ddotx(t) = ddt ( e^-gamma t2 ( 1 - gamma t2 ) ) em relação ao tempo :
Novamente, usamos a regra do produto.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
ddotx(t) = ( -gamma2 e^-gamma t2 ) ( 1 - gamma t2 ) + e^-gamma t2 ( -gamma2 )
Simplificando:
ddotx(t) = -gamma2 e^-gamma t2 ( 1 - gamma t2 ) - gamma2 e^-gamma t2 = -gamma2 e^-gamma t2 ( 2 - gamma t2 )

Passo 6

Agora, vamos substituir ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0 , -gamma2 e^-gamma t2 ( 2 - gamma t2 ) + gamma ( e^-gamma t2 ( 1 - gamma t2 ) ) + omega0^2 t e^-gamma t2 = 0 e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
-gamma e^-gamma t2 + gamma^2 t4 e^-gamma t2 + gamma e^-gamma t2 - gamma^2 t2 e^-gamma t2 + omega0^2 t e^-gamma t2 = 0
Observamos que os termos e se cancelam.

Passo 8

Ficamos com:
( gamma^2 t4 - gamma^2 t2 + omega0^2 t ) e^-gamma t2 = 0
Fatorando t e^-gamma t2 ( gamma^24 - gamma^22 + omega0^2 ) = 0 :

Passo 9

Para que a equação seja igual a zero para todo gamma^24 - gamma^22 + omega0^2 = 0 , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
-gamma^24 + omega0^2 = 0 implies omega0^2 = gamma^24 implies omega0 = gamma2
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz a equação diferencial do oscilador criticamente amortecido quando .

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