Mostre que
é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido. Ou seja, mostre que essa equação horária resolve a equação
desde que
.
Isto é, o valor da envoltória do termo que oscila em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função
é solução da equação diferencial do oscilador criticamente amortecido, que é dada por:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais e osciladores amortecidos. Precisamos calcular as derivadas de
e substituir na equação para verificar se ela é satisfeita, assumindo que
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
:
Novamente, usamos a regra do produto.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar os termos:
Observamos que os termos
e
se cancelam.
Passo 8
Ficamos com:
Fatorando
:
Passo 9
Para que a equação seja igual a zero para todo
, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Simplificando:
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz a equação diferencial do oscilador criticamente amortecido quando
.
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, na qual
e fizemos a fase
para simplificar.
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