Seja
. Defina a sequência
, pondo
e
. Prove que
é convergente e calcule seu limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida assim: começamos com
e cada termo seguinte é
. O objetivo é provar que essa sequência chega a algum valor fixo quando
vai para o infinito e descobrir qual é esse valor, que chamaremos de
. Para isso, vamos precisar entender de noções básicas de sequências, limites e um pouquinho de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência está aumentando. Isso quer dizer que cada termo é maior que o anterior. Vamos checar:
- Começamos com
. - Então,
.
Como
, então
, o que implica que
. Se continuar assim, cada próximo termo será maior que o anterior. Assim, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, precisamos ver se a sequência está limitada, ou seja, se existe um número que ela não ultrapassa. Vamos supor que existe um limite
. Se a sequência está convergindo, então quando
tende ao infinito,
e
vão se aproximar de
. Então:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Para achar
, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é uma raiz quadrada, ele deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução negativa:
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que existam
,
e que
, para todo
. Mostre que
é uma Sequência de Cauchy.
Mostre que se
for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.
Suponha que
seja uma sequência tal que
, para todo
. Mostre que
, se e somente se,
.