Seja . Defina a sequência , pondo e . Prove que é convergente e calcule seu limite

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida assim: começamos com e cada termo seguinte é . O objetivo é provar que essa sequência chega a algum valor fixo quando vai para o infinito e descobrir qual é esse valor, que chamaremos de . Para isso, vamos precisar entender de noções básicas de sequências, limites e um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência está aumentando. Isso quer dizer que cada termo é maior que o anterior. Vamos checar:
  • Começamos com .
  • Então, .
Como , então , o que implica que . Se continuar assim, cada próximo termo será maior que o anterior. Assim, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, precisamos ver se a sequência está limitada, ou seja, se existe um número que ela não ultrapassa. Vamos supor que existe um limite . Se a sequência está convergindo, então quando tende ao infinito, e vão se aproximar de . Então:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 4

Para achar , vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como é uma raiz quadrada, ele deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução negativa:

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Prove que .
Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que existam , e que , para todo . Mostre que é uma Sequência de Cauchy.
Mostre que se for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.
Suponha que seja uma sequência tal que , para todo . Mostre que , se e somente se, .