Prove que lim n infty raizn=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de raizn quando n vai para o infinito é +infty. Isso está ligado ao conteúdo de limites no cálculo, especificamente entendendo como uma função se comporta quando a variável cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite infinito e algumas propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que lim n infty raizn=+infty. Basicamente, isso quer dizer que, conforme n cresce cada vez mais, o valor de raizn também cresce sem limite, ficando maior que qualquer número real que a gente escolha.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição formal de limite infinito. Dizemos que lim n infty raizn=+infty se, para todo número real M, existe um número N tal que para todo n > N, raizn > M. Ou seja, independente do quão grande seja M, a raiz de n vai superar ele quando n for suficientemente grande.

Passo 4

Vamos construir esse N. Se queremos que raizn > M, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar: n > M^2. Então, basta escolher N = M^2. Assim, para qualquer n > N, teremos raizn > M. Isso satisfaz a definição que estabelecemos.

Resposta

Portanto, provamos que lim n infty raizn=+infty.

Exercícios relacionados