Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de quando vai para o infinito é . Isso está ligado ao conteúdo de limites no cálculo, especificamente entendendo como uma função se comporta quando a variável cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite infinito e algumas propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que . Basicamente, isso quer dizer que, conforme cresce cada vez mais, o valor de também cresce sem limite, ficando maior que qualquer número real que a gente escolha.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição formal de limite infinito. Dizemos que se, para todo número real , existe um número tal que para todo , . Ou seja, independente do quão grande seja , a raiz de vai superar ele quando for suficientemente grande.

Passo 4

Vamos construir esse . Se queremos que , podemos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar: . Então, basta escolher . Assim, para qualquer , teremos . Isso satisfaz a definição que estabelecemos.

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que existam , e que , para todo . Mostre que é uma Sequência de Cauchy.
Utilize a fórmula de Simpson com para estimar o comprimento do arco de curva com equação , até .
Seja . Defina a sequência , pondo e . Prove que é convergente e calcule seu limite
Mostre que se for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.