Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de
quando
vai para o infinito é
. Isso está ligado ao conteúdo de limites no cálculo, especificamente entendendo como uma função se comporta quando a variável cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite infinito e algumas propriedades das raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
. Basicamente, isso quer dizer que, conforme
cresce cada vez mais, o valor de
também cresce sem limite, ficando maior que qualquer número real que a gente escolha.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição formal de limite infinito. Dizemos que
se, para todo número real
, existe um número
tal que para todo
,
. Ou seja, independente do quão grande seja
, a raiz de
vai superar ele quando
for suficientemente grande.
Passo 4
Vamos construir esse
. Se queremos que
, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar:
. Então, basta escolher
. Assim, para qualquer
, teremos
. Isso satisfaz a definição que estabelecemos.
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que existam
,
e que
, para todo
. Mostre que
é uma Sequência de Cauchy.
Utilize a fórmula de Simpson com
para estimar o comprimento do arco de curva com equação
,
até
.
Seja
. Defina a sequência
, pondo
e
. Prove que
é convergente e calcule seu limite
Mostre que se
for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.