Um oscilador fracamente amortecido possui massa 0,1 kg, coeficiente de amortecimento raiz3 / 4 / s e frequência (angular) natural 1 rad / s. Se ele parte da origem (posição de equilíbrio), com velocidade de 20 m / s, calcule sua posição em função do tempo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido. Precisamos usar conceitos de física de movimento harmônico amortecido, como massa, coeficiente de amortecimento e frequência angular natural. Vamos calcular a posição do oscilador em função do tempo usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os dados do problema:
  • Massa
  • Coeficiente de amortecimento
  • Frequência angular natural
  • Condições iniciais: posição inicial e velocidade inicial

Passo 3

Para um oscilador fracamente amortecido, a solução geral da posição em função do tempo é:
x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) )
Onde:
  • é a taxa de amortecimento
  • é a frequência angular amortecida
  • e são constantes que determinamos com as condições iniciais

Passo 4

Calculamos gamma = c2m = raiz342 times 0,1 = raiz320,2 = raiz30,4 = raiz30,4 :
gamma = raiz30,4 approx 4,33 , s^-1
Simplificando:

Passo 5

Calculamos omega = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz1^2 - (4,33)^2 = raiz1 - 18,75 = raiz-17,75 :
O resultado é um número imaginário, o que indica que o sistema está superamortecido. Porém, como o enunciado menciona um amortecimento fraco, podemos verificar os cálculos.

Passo 6

Recalculando gamma = raiz342 times 0,1 = raiz320,2 = raiz30,4 approx 4,33 , s^-1 corretamente:
Ainda obtemos , indicando amortecimento forte. Talvez haja um erro nos dados fornecidos.

Passo 7

Assumindo que o coeficiente de amortecimento foi dado corretamente e o sistema é superamortecido, a solução geral seria composta por termos exponenciais reais. Porém, para seguir com um amortecimento fraco, vamos considerar e recalcular com valores ajustados.

Passo 8

Considerando que houve um erro na interpretação dos dados e mantendo o sistema como fracamente amortecido, prosseguimos com:
x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) )
Usamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 9

Aplicando 0 = e^0 (A cos(0) + B sin(0)) Rightarrow 0 = A times 1 + B times 0 Rightarrow A = 0 :

Passo 10

Aplicando v(t) = dxdt = -gamma e^-gamma t (A cos(omega t) + B sin(omega t)) + e^-gamma t (-A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)) :
Primeiro, derivamos v(0) = -gamma times 0 + e^0 (B omega) = B omega = 20 :
B = 20omega
Com :
Então:

Passo 11

Assumindo omega = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz1 - (raiz32 times 0,1)^2 approx não real , calculamos :
ã
Como não é real, o sistema é superamortecido e a solução deve ser ajustada para essa condição.

Passo 12

Para um sistema superamortecido, a solução é:
x(t) = C e^s1 t + D e^s2 t
Onde s^2 + 2gamma s + omega0^2 = 0 e s = -2gamma pm raiz(2gamma)^2 - 4 omega0^22 = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2 são as raízes da equação característica:
Calculamos as raízes:

Passo 13

Substituindo s = -4,33 pm raiz(4,33)^2 - 1 = -4,33 pm raiz18,75 - 1 = -4,33 pm raiz17,75 e s approx -4,33 pm 4,21 :
s1 approx -0,12 , s^-1, s2 approx -8,54 , s^-1
Então:

Passo 14

A solução geral é:
x(t) = C e^-0,12 t + D e^-8,54 t
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 15

Com 0 = C + D Rightarrow C = -D :
v(t) = -0,12 C e^-0,12 t -8,54 D e^-8,54 t
Com 20 = -0,12 C -8,54 D :
20 = -0,12 (-D) -8,54 D = 0,12 D -8,54 D = -8,42 D Rightarrow D = 20-8,42 approx -2,376
Em :
Substituindo :
Então,

Resposta

A posição do oscilador em função do tempo é:
x(t) = 2,376 , e^-0,12 t - 2,376 , e^-8,54 t

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