Um oscilador fracamente amortecido possui massa , coeficiente de amortecimento e frequência (angular) natural . Se ele parte da origem (posição de equilíbrio), com velocidade de , calcule sua posição em função do tempo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido. Precisamos usar conceitos de física de movimento harmônico amortecido, como massa, coeficiente de amortecimento e frequência angular natural. Vamos calcular a posição do oscilador em função do tempo usando as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, identificamos os dados do problema:
Massa
Coeficiente de amortecimento
Frequência angular natural
Condições iniciais: posição inicial e velocidade inicial
Passo 3
Para um oscilador fracamente amortecido, a solução geral da posição em função do tempo é:
Onde:
é a taxa de amortecimento
é a frequência angular amortecida
e são constantes que determinamos com as condições iniciais
Passo 4
Calculamos :
Simplificando:
Passo 5
Calculamos :
O resultado é um número imaginário, o que indica que o sistema está superamortecido. Porém, como o enunciado menciona um amortecimento fraco, podemos verificar os cálculos.
Passo 6
Recalculando corretamente:
Ainda obtemos , indicando amortecimento forte. Talvez haja um erro nos dados fornecidos.
Passo 7
Assumindo que o coeficiente de amortecimento foi dado corretamente e o sistema é superamortecido, a solução geral seria composta por termos exponenciais reais. Porém, para seguir com um amortecimento fraco, vamos considerar e recalcular com valores ajustados.
Passo 8
Considerando que houve um erro na interpretação dos dados e mantendo o sistema como fracamente amortecido, prosseguimos com:
Usamos as condições iniciais para encontrar e .
Passo 9
Aplicando :
Passo 10
Aplicando :
Primeiro, derivamos :
Com :
Então:
Passo 11
Assumindo , calculamos :
Como não é real, o sistema é superamortecido e a solução deve ser ajustada para essa condição.
Passo 12
Para um sistema superamortecido, a solução é:
x(t) = C e^s1 t + D e^s2 t
Onde s^2 + 2gamma s + omega0^2 = 0 e s = -2gamma pm raiz(2gamma)^2 - 4 omega0^22 = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2 são as raízes da equação característica:
Calculamos as raízes:
Passo 13
Substituindo s = -4,33 pm raiz(4,33)^2 - 1 = -4,33 pm raiz18,75 - 1 = -4,33 pm raiz17,75 e s approx -4,33 pm 4,21 :
s1 approx -0,12 , s^-1, s2 approx -8,54 , s^-1
Então:
Passo 14
A solução geral é:
x(t) = C e^-0,12 t + D e^-8,54 t
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Passo 15
Com 0 = C + D Rightarrow C = -D :
v(t) = -0,12 C e^-0,12 t -8,54 D e^-8,54 t
Com 20 = -0,12 C -8,54 D :
20 = -0,12 (-D) -8,54 D = 0,12 D -8,54 D = -8,42 D Rightarrow D = 20-8,42 approx -2,376