Um oscilador fracamente amortecido possui massa , coeficiente de amortecimento e frequência (angular) natural . Se ele parte da origem (posição de equilíbrio), com velocidade de , calcule sua posição em função do tempo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido. Precisamos usar conceitos de física de movimento harmônico amortecido, como massa, coeficiente de amortecimento e frequência angular natural. Vamos calcular a posição do oscilador em função do tempo usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os dados do problema:
  • Massa
  • Coeficiente de amortecimento
  • Frequência angular natural
  • Condições iniciais: posição inicial e velocidade inicial

Passo 3

Para um oscilador fracamente amortecido, a solução geral da posição em função do tempo é:
Onde:
  • é a taxa de amortecimento
  • é a frequência angular amortecida
  • e são constantes que determinamos com as condições iniciais

Passo 4

Calculamos :
Simplificando:

Passo 5

Calculamos :
O resultado é um número imaginário, o que indica que o sistema está superamortecido. Porém, como o enunciado menciona um amortecimento fraco, podemos verificar os cálculos.

Passo 6

Recalculando corretamente:
Ainda obtemos , indicando amortecimento forte. Talvez haja um erro nos dados fornecidos.

Passo 7

Assumindo que o coeficiente de amortecimento foi dado corretamente e o sistema é superamortecido, a solução geral seria composta por termos exponenciais reais. Porém, para seguir com um amortecimento fraco, vamos considerar e recalcular com valores ajustados.

Passo 8

Considerando que houve um erro na interpretação dos dados e mantendo o sistema como fracamente amortecido, prosseguimos com:
Usamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 9

Aplicando :

Passo 10

Aplicando :
Primeiro, derivamos :
Com :
Então:

Passo 11

Assumindo , calculamos :
ã
Como não é real, o sistema é superamortecido e a solução deve ser ajustada para essa condição.

Passo 12

Para um sistema superamortecido, a solução é:
Onde e são as raízes da equação característica:
Calculamos as raízes:

Passo 13

Substituindo e :
Então:

Passo 14

A solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 15

Com :
Com :
Em :
Substituindo :
Então,

Resposta

A posição do oscilador em função do tempo é:

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