Mostre que pode ser escrito nas seguintes formas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a equação da onda pode ser escrita de quatro jeitos diferentes. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de ondas, como comprimento de onda ( ), frequência ( ), período ( ), velocidade ( ), e as relações entre eles. Vamos dar um passo de cada vez para transformar a equação inicial nas formas pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade da onda ( ) com o número de onda ( ) e a frequência angular ( ). Sabemos que a velocidade da onda pode ser expressa como:
Isso significa que . Vamos substituir isso na equação original:
Pronto! Essa é a primeira forma que a gente queria mostrar: .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação usando o comprimento de onda ( ) e a frequência ( ). Lembrando que:
Substituindo esses valores na equação original:
Então, a segunda forma é: .

Passo 4

Vamos agora expressar a equação em termos do período ( ), que é o inverso da frequência ( ). Além disso, usamos a relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência ( ). Primeiro, substituímos por :
Sabendo que (pois e ), ficamos com:
Assim, temos a quarta forma: .

Resposta

Portanto, a equação pode ser reescrita como:

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