Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b) x^2 y' = -1 - x y + x^2 y^2, y1 = x^(-1)

Passo 1

Neste exercício, precisamos mostrar que é solução da equação de Riccati dada por:
Além disso, nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos utilizar métodos das equações de Riccati, que envolvem encontrar soluções particulares e usar substituições para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação. Para isso, calculamos a derivada de e substituímos na equação original.
Calculando a derivada de :
Agora, substituímos e na equação de Riccati:
Simplificando:
Como a igualdade é válida, é de fato uma solução da equação de Riccati.

Passo 3

Para encontrar a solução geral da equação, vamos utilizar a solução particular que encontramos. Uma técnica comum é fazer a substituição:
onde é uma nova função a ser determinada. Substituindo na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ajustando os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 4

Agora, temos uma equação linear para :
Vamos dividir toda a equação por para facilitar:
Esta é uma equação linear na forma padrão:
onde e .
Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos a equação original por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:

Passo 5

Para resolver a integral , fazemos a substituição , então ou .
Substituindo:
Portanto, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando da substituição inicial , substituímos :
Para simplificar, podemos reescrever a solução como:
onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati dada é:
Onde é uma constante de integração.

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