Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)
(b)
Passo 1
Neste exercício, precisamos mostrar que
é solução da equação de Riccati dada por:
Além disso, nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos utilizar métodos das equações de Riccati, que envolvem encontrar soluções particulares e usar substituições para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a equação. Para isso, calculamos a derivada de
e substituímos na equação original.
Calculando a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação de Riccati:
Simplificando:
Como a igualdade é válida,
é de fato uma solução da equação de Riccati.
Passo 3
Para encontrar a solução geral da equação, vamos utilizar a solução particular que encontramos. Uma técnica comum é fazer a substituição:
onde
é uma nova função a ser determinada. Substituindo
na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ajustando os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos uma equação linear para
:
Vamos dividir toda a equação por
para facilitar:
Esta é uma equação linear na forma padrão:
onde
e
.
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação original por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Passo 5
Para resolver a integral
, fazemos a substituição
, então
ou
.
Substituindo:
Portanto, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando da substituição inicial
, substituímos
:
Para simplificar, podemos reescrever a solução como:
onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a.
a.
Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função
é contínua no ponto
.
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c.
c.
É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências cujo intervalo de convergência é
.
Existe uma série de potências