É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências sumn=0^+infty cn x^n cujo intervalo de convergência é [0,+infty).

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Existe uma série de potências cujo intervalo de convergência é .” O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries de potências e seus intervalos de convergência. Para resolver isso, precisamos entender como determinar o intervalo de convergência de uma série de potências e se é possível que esse intervalo seja exatamente .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma , onde são os coeficientes e é a variável. O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o Raio de Convergência ( ), que nos diz até onde a série converge em torno do ponto central, que neste caso é . A série converge para e geralmente diverge para . Nos pontos , a convergência precisa ser testada separadamente.

Passo 4

Se o raio de convergência , isso significa que a série converge para todos os valores de , ou seja, o intervalo de convergência seria . Isso porque a série não tem limites de convergência, convergindo tanto para valores positivos quanto negativos de .

Passo 5

A afirmação propõe um intervalo de convergência , que só inclui valores não negativos de . No entanto, conforme vimos, uma série de potências centrada em com teria um intervalo de convergência simétrico, incluindo tanto valores negativos quanto positivos de . Não existe uma série de potências que convirja apenas para .

Resposta

Falso. Não existe uma série de potências cujo intervalo de convergência seja exatamente .

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