É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências
cujo intervalo de convergência é
.
Existe uma série de potências
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Existe uma série de potências
cujo intervalo de convergência é
.” O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries de potências e seus intervalos de convergência. Para resolver isso, precisamos entender como determinar o intervalo de convergência de uma série de potências e se é possível que esse intervalo seja exatamente
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma
, onde
são os coeficientes e
é a variável. O intervalo de convergência é o conjunto de valores de
para os quais a série converge.
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o Raio de Convergência (
), que nos diz até onde a série converge em torno do ponto central, que neste caso é
. A série converge para
e geralmente diverge para
. Nos pontos
, a convergência precisa ser testada separadamente.
Passo 4
Se o raio de convergência
, isso significa que a série converge para todos os valores de
, ou seja, o intervalo de convergência seria
. Isso porque a série não tem limites de convergência, convergindo tanto para valores positivos quanto negativos de
.
Passo 5
A afirmação propõe um intervalo de convergência
, que só inclui valores não negativos de
. No entanto, conforme vimos, uma série de potências centrada em
com
teria um intervalo de convergência simétrico, incluindo tanto valores negativos quanto positivos de
. Não existe uma série de potências que convirja apenas para
.
Resposta
Falso. Não existe uma série de potências
cujo intervalo de convergência seja exatamente
.