Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função
é contínua no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras:
A pergunta quer saber se essa função é contínua no ponto
. Para isso, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 1. Vamos precisar aplicar conceitos de limites em várias variáveis e entender como verificar a continuidade.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de
quando
tende a
. Para funções de duas variáveis, o limite existe se, e somente se, ele for o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
.
Vamos tentar calcular esse limite usando coordenadas polares, que é uma técnica comum para simplificar cálculos de limites em duas variáveis.
Passo 3
Em coordenadas polares, expressamos
e
em termos de
e
:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 4
Substituindo
e
na função
, temos:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 5
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador:
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando
tende a 0. Observamos que a expressão resultante não depende mais de
, apenas de
.
Passo 6
Para que o limite exista, a expressão
deve ter o mesmo valor para todo
. Vamos verificar alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que para diferentes valores de
, o limite assume valores diferentes.
Passo 7
Como o limite de
quando
tende a
depende do caminho escolhido (ou seja, do valor de
), podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua no ponto
.
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e
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a.
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)
(b)