Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função é contínua no ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras:
A pergunta quer saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 1. Vamos precisar aplicar conceitos de limites em várias variáveis e entender como verificar a continuidade.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de quando tende a . Para funções de duas variáveis, o limite existe se, e somente se, ele for o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto .
Vamos tentar calcular esse limite usando coordenadas polares, que é uma técnica comum para simplificar cálculos de limites em duas variáveis.

Passo 3

Em coordenadas polares, expressamos e em termos de e :
Onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Substituindo e na função , temos:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 5

Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando tende a 0. Observamos que a expressão resultante não depende mais de , apenas de .

Passo 6

Para que o limite exista, a expressão deve ter o mesmo valor para todo . Vamos verificar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que para diferentes valores de , o limite assume valores diferentes.

Passo 7

Como o limite de quando tende a depende do caminho escolhido (ou seja, do valor de ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f.
Resolva os p.v.i(b) e
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a.
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)