Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função f é contínua no ponto (0,0).
f(x, y)=lll x yx^2+x y+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x, y) = x yx^2 + x y + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 1 & se (x, y) = (0,0) definida de duas maneiras:
A pergunta quer saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 1. Vamos precisar aplicar conceitos de limites em várias variáveis e entender como verificar a continuidade.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de quando tende a . Para funções de duas variáveis, o limite existe se, e somente se, ele for o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto .
Vamos tentar calcular esse limite usando coordenadas polares, que é uma técnica comum para simplificar cálculos de limites em duas variáveis.

Passo 3

Em coordenadas polares, expressamos x = r cos theta y = r sin theta e em termos de e :
Onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = (r cos theta)(r sin theta)(r cos theta)^2 + (r cos theta)(r sin theta) + (r sin theta)^2 e f(r, theta) = r^2 cos theta sin thetar^2 (cos^2 theta + cos theta sin theta + sin^2 theta) na função , temos:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 5

Podemos cancelar o termo f(r, theta) = cos theta sin thetacos^2 theta + cos theta sin theta + sin^2 theta no numerador e denominador:
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando tende a 0. Observamos que a expressão resultante não depende mais de , apenas de .

Passo 6

Para que o limite exista, a expressão cos 0 cdot sin 0cos^2 0 + cos 0 cdot sin 0 + sin^2 0 = 01 + 0 + 0 = 0 deve ter o mesmo valor para todo cos pi4 cdot sin pi4cos^2 pi4 + cos pi4 cdot sin pi4 + sin^2 pi4 = raiz22 cdot raiz2212 + 12 + 12 = 1232 = 13 . Vamos verificar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que para diferentes valores de , o limite assume valores diferentes.

Passo 7

Como o limite de quando tende a depende do caminho escolhido (ou seja, do valor de ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua no ponto .

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